Если комплексному числу z = (cos φ + i sin φ), модуль которого равен 1, поставить в соответствие показательное выражение ei φ, то получим соотношение
cos φ + i sin φ = ei φ называется формулой Эйлера.
Любое комплексное число z можно записать в виде z = r ei φ
Эта форма записи комплексного числа называется показательной формой.
Действия над комплексными числами в тригонометрической форме:
1.
2. z1/z2 = =
3. zn = (r(cos j + i sin j))n = rn(cos nj + i sin nj)
4. =
=
, где k = 0, 1, 2, …, n-1
Последняя формула называется формулой Муавра.
Пример 2: z1 = (cos (-
) + i sin (-
)) и z2 = 2 (cos
+ i sin
)
=
=
(z2)3 = 23 (cos 3* + i sin 3*
) = 8 (cos
+ i sin
)
=
=
полагая k = 0, 1, 2, найдем
при к = 0
=
=
при к = 1
=
=
при к = 2
=
=
Действия над комплексными числами в показательной форме:
z1z2 =
z1/z2 =
zn =rn en i j
Пример 3: z1 =
и z2 = 2
z1z2 =
z1/z2 =
(z2)3 = 23 = 8