Уравнение вида (1) называется линейным уравнением.
Линейное уравнение сводится к двум уравнениям с разделяющимися переменными заменой искомой функции у произведением двух вспомогательных функций u и v, т.е y = uv.
Тогда , и уравнение (1) принимает вид . (2)
Пользуясь тем, что одно из вспомогательных переменных, например v, выбрано произвольно, подберем его так, чтобы выражение в квадратных скобках обратилось в нуль, т.е. в качестве v возьмем одно из частных решений v=v(x) уравнения с разделяющимися переменными .
Подставив выражение v=v(x) в уравнение (2), получим уравнение относительно функции u: .
Это также уравнение с разделяющимися переменными. Найдя общее решение этого уравнения u=u(x,C), получим общее решение уравнения (1):
y = u(x,C)v(x).
Пример: Найти общее решение уравнения .
Решение: Делаем замены и .
Получаем (*)
Решаем уравнение Û Û Û v = x-1 Û v =
Подставляем v в уравнение (*), получаем уравнение:
Û Û
Итак, искомое общее решение