1. Математическое ожидание или среднее значение:
где:
- – математическое ожидание или среднее значение признака;
- хi= х1, х2, х3, … хn – реализации (даты, количественные значения) получаемые в результате проведения опытов
- n – численность совокупности – количество учтенных наблюдений, замеров;
- i – порядковый номер единицы учета в совокупности.
Величина определяет место расположения «центра тяжести» статистической совокупности на числовой оси. Название «математическое ожидание» связано с тем, что служит центром ожидаемой концентрации возможных значений случайной величины.
2. Дисперсия S2 или средний квадрат отклонений характеризует рассеивание случайной величины около её среднего значения.
где:
- S2 – дисперсия (в некоторых публикациях обозначается символом σ2);
- - математическое ожидание или среднее значение признака;
- хi= х1, х2, х3, … хn – реализации (даты, количественные значения) получаемые в результате проведения опытов;
- n – численность совокупности – количество учтенных наблюдений, замеров;
|
|
- i – порядковый номер единицы учета в совокупности.
3. Ввиду того, что размерность дисперсии не совпадает с размерностью изучаемой случайной величины – равна её квадрату, более удобной и приемлемой характеристикой величины рассеяния является среднеквадратическое отклонение, определяемое формулой (соотношением):
Сравнение двух случайных величин или двух статистических совокупностей по величине среднеквадратического отклонения правомерно лишь при условии, что их математические ожидания – средние значения – равны.
4. В общем случае (когда математические ожидания могут быть и не равны между собой) для сравнения необходимо использовать коэффициент вариации (Cv):
Величина Cv показывает, какую долю от среднего арифметического составляет среднеквадратическое отклонение. Эта величина может быть выражена в долях от среднего – безразмерной статистики, так и в процентах, тогда в формулу вводится коэффициент «100».
5. Для характеристики асимметрии распределения – распределения значений случайной величины относительно – можно использовать коэффициент асимметрии (A):
где:
- .
При А >0 асимметрия положительная (левая), при А<0 – отрицательная – правая. По величине коэффициента асимметрии можно судить о преобладании в выборке относительно малых значений случайной величины (А >0) или – больших (А<0).
6. Степень заостренности распределения случайной величины можно характеризовать при помощи показателя эксцесса (Е):
7. Для среднего значения, коэффициента асимметрии и показателя эксцесса рассчитывают и их среднеквадратические ошибки:
|
|
Ошибка коэффициента асимметрии:
Ошибка показателя эксцесса:
Среднеквадратические ошибки указывают на возможную амплитуду изменений соответствующих показателей (статистик), вычисленных по n опытным значениям.
8. Для характеристики точности опыта (выполненного эксперимента или наблюдения) рассчитывают так называемый показатель точности опыта:
Показатель иногда называют относительной ошибкой. Вместе с тем некоторые специалисты (Лейтас, 1983, стр. 23) сомневаются в «полезности» использования данного показателя с целью оценок точности опыта на том основании, что значение оценки Р непосредственно зависит от величины математического ожидания (среднего значения) самой статистической совокупности, подвергаемой статистическому анализу. Однако несостоятельность таких «опасений» авторов очевидна: на стр. 22 ими приведены формулы, в расчетах которых предусмотрены аналогичные схемы отношений некоторого параметра к среднему значению признака в статистической совокупности (коэффициент вариации).