в точках (рис. 6).
![]() |
Решение. Применим теорему Дирихле к заданной на отрезке
![](https://konspekta.net/studopediaru/baza25/12429790004529.files/image575.gif)
![](https://konspekta.net/studopediaru/baza25/12429790004529.files/image577.gif)
![](https://konspekta.net/studopediaru/baza25/12429790004529.files/image579.gif)
![]() |
Точка – точка разрыва функции, значит, ее ряд Фурье сходится в этой точке к значению
.
Точка – также точка разрыва функции, значит, ряд Фурье сходится в этой точке к значению
.
Точка – точка непрерывности функции, поэтому ее ряд Фурье сходится в этой точке к значению самой функции
.
Точка находится за пределами отрезка
, и функция
там не определена, но сумма
ряда Фурье функции
является периодической функцией с периодом
. Так как
, ряд Фурье в точке
сходится к тому же значению, что и в точке
, а поскольку
– точка непрерывности, это значение равно
.
Сумма ряда Фурье, полученного в результате разложения функции, изображена на рис. 7.
Пример 2. Разложить в ряд Фурье функцию
Решение. Разложение в ряд Фурье функции , заданной на отрезке
, имеет вид
,
где
.
|
|
Найдем коэффициенты разложения . Так как на отрезке
функция
задана разными аналитическими выражениями, разобьем область интегрирования в каждом случае точкой
на две подобласти и получим
= ,
,
(при вычислении заменили
более простой функцией
).
В результате получим разложение функции в ряд Фурье
.
На рис. 8 изображена функция и частичные суммы ряда Фурье для трех, четырех, шести и восьми ненулевых слагаемых соответственно.
Пример 3. Разложить в ряд Фурье по косинусам функцию
Решение. Разложим функцию, заданную на отрезке , в ряд Фурье по косинусам (доопределяем
на отрезок
как четную) с помощью формул:
,
.
При этом
.
![]() | ![]() |
а) График частичной суммы ряда Фурье из трех слагаемых | б) График частичной суммы ряда Фурье из четырех слагаемых |
![]() | ![]() |
в) График частичной суммы ряда Фурье из шести слагаемых | г) График частичной суммы ряда Фурье из восьми слагаемых |
Рис. 8. К примеру 2
Поэтому
.
На рис. 9 изображена функция , продолженная четным образом на отрезок
, и частичная сумма получившегося ряда Фурье (4 ненулевых слагаемых).
![]() |
Рис. 9. К примеру 3 |
Пример 4. Разложить в ряд Фурье по синусам функцию
Решение. Разложим функцию, заданную на отрезке в ряд Фурье по синусам (доопределяем
на отрезок
, как нечетную) с помощью формул:
,
.
Тогда
.
Таким образом,
.
На рис. 10 изображена функция , продолженная нечетным образом на отрезок
, и частичная сумма получившегося ряда Фурье (3 ненулевых слагаемых).
![]() |
Рис. 10. К примеру 4 |
Рекомендуемая к § 7 литература – см. библ. список [1, 3, 9, 14 – 15, 19, 22, 26, 28].
|
|
В задачах 533 – 544 с помощью теоремы Дирихле определить, к чему сходятся ряды Фурье указанных функций в точке .
533. | ![]() ![]() | Ответ. | 1 |
534. | ![]() ![]() | Ответ. | –1 |
535. | ![]() ![]() | Ответ. | 2 |
536. | ![]() ![]() | Ответ. | 4,5 |
537. | ![]() ![]() | Ответ. | 1 |
538. | ![]() ![]() | Ответ. | 3 |
539. | ![]() ![]() | Ответ. | 0 |
540. | ![]() ![]() | Ответ. | –1 |
541. | ![]() ![]() | Ответ. | 0 |
542. | ![]() ![]() | Ответ. | 2 |
543. | ![]() ![]() | Ответ. | 1 |
544. | ![]() ![]() | Ответ. | 3 |
545. | Функция ![]() ![]() ![]() |
546. | Функция ![]() ![]() ![]() |
547. | Функция ![]() ![]() ![]() |
548. | Функция ![]() ![]() ![]() |
В задачах 549 – 568 найти коэффициенты разложения в ряд Фурье функции
, заданной на отрезке
().
549. | ![]() | Ответ. | ![]() |
550. | ![]() | Ответ. | ![]() |
551. | ![]() | Ответ. | ![]() |
552. | ![]() | Ответ. | ![]() |
553. | ![]() | Ответ. | ![]() |
554. | ![]() | Ответ. | ![]() |
555. | ![]() | Ответ. | ![]() |
556. | ![]() | Ответ. | ![]() |
557. | ![]() | Ответ. | ![]() |
558. | ![]() | Ответ. | ![]() |
559. | ![]() | Ответ. | ![]() |
560. | ![]() | Ответ. | ![]() |
561. | ![]() | Ответ. | ![]() |
562. | ![]() | Ответ. | ![]() |
563. | ![]() | Ответ. | ![]() |
564. | ![]() | Ответ. | ![]() |
565. | ![]() | Ответ. | ![]() |
566. | ![]() | Ответ. | ![]() |
567. | ![]() | Ответ. | ![]() |
568. | ![]() | Ответ. | ![]() |
В задачах 569 – 576 разложить в ряд Фурье указанные функции.
569. | ![]() | Ответ. | ![]() |
570. | ![]() | Ответ. | ![]() |
571. | ![]() | Ответ. | ![]() |
572. | ![]() | Ответ. | ![]() |
573. | ![]() | Ответ. | ![]() |
574. | ![]() | Ответ. | ![]() |
575. | ![]() | Ответ. | ![]() |
576. | ![]() | Ответ. | ![]() |
В задачах 577 – 588 найти коэффициенты
разложения в ряд Фурье по косинусам функции
, заданной на отрезке
().
577. | ![]() | Ответ. | ![]() |
578. | ![]() | Ответ. | ![]() |
579. | ![]() | Ответ. | ![]() |
580. | ![]() | Ответ. | ![]() |
581. | ![]() | Ответ. | ![]() |
582. | ![]() | Ответ. | ![]() |
583. | ![]() | Ответ. | ![]() |
584. | ![]() | Ответ. | ![]() |
585. | ![]() | Ответ. | ![]() |
586. | ![]() | Ответ. | ![]() |
587. | ![]() | Ответ. | ![]() |
588. | ![]() | Ответ. | ![]() |
В задачах 589 – 592 разложить в ряд Фурье по косинусам указанные функции.
589. | ![]() | Ответ. | ![]() |
590. | ![]() | Ответ. | ![]() |
591. | ![]() | Ответ. | ![]() |
592. | ![]() | Ответ. | ![]() |
В задачах 593 – 605 найти коэффициенты разложения в ряд Фурье по синусам функции
, заданной на отрезке
().
593. | ![]() | Ответ. | ![]() |
594. | ![]() | Ответ. | ![]() |
595. | ![]() | Ответ. | ![]() |
596. | ![]() | Ответ. | ![]() |
597. | ![]() | Ответ. | ![]() |
598. | ![]() | Ответ. | ![]() |
599. | ![]() | Ответ. | ![]() |
600. | ![]() | Ответ. | ![]() |
601. | ![]() | Ответ. | ![]() |
602. | ![]() | Ответ. | ![]() |
603. | ![]() | Ответ. | ![]() |
604. | ![]() | Ответ. | ![]() |
605. | ![]() | Ответ. | ![]() |
В задачах 606 – 609 разложить в ряд Фурье по синусам указанные функции.
606. | ![]() | Ответ. | ![]() |
607. | ![]() | Ответ. | ![]() |
608. | ![]() | Ответ. | ![]() |
609. | ![]() | Ответ. | ![]() |
Глава 3. Дифференциальные уравнения
Уравнение, содержащее переменные, их функцию, а также производные этой функции (или дифференциалы), называется дифференциальным уравнением. Если функция зависит от одной переменной, то уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением. Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной, входящей в уравнение.
§ 8. Дифференциальные уравнения первого порядка
Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка
,
где функция у зависит от одной независимой переменной х.
Решить его (проинтегрировать) – значит найти функцию , обращающую уравнение в тождество. Функция
, которая является решением уравнения при любом значении произвольной постоянной С, называется общим решением. Если в результате интегрирования получилось соотношение вида
(неявное задание функции у), говорят, что получен общий интеграл дифференциального уравнения. Задача нахождения частного решения при заданных условиях (
) называется задачей Коши.
|
|
Рассмотрим некоторые дифференциальные уравнения первого порядка и способы их решения.
Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными – это уравнение вида
.
Переменные разделяются, если уравнение разделить на :
.
Теперь при – только функции, зависящие от х, а при
– от у. Значит, уравнение можно интегрировать:
.
Получен общий интеграл дифференциального уравнения (решение, записанное в неявном виде).
Линейное дифференциальное уравнение первого порядка есть уравнение вида
.
Его можно решить методом Эйлера-Бернулли с помощью подстановки
,
где и и v – две неизвестные функции. При этом . Подставляем полученные выражения в уравнение:
и группируем слагаемые
.
Так как одну из функций u или v можно выбрать произвольно (лишь произведение uv должно удовлетворять исходному уравнению), найдем v, приравняв к 0 выражение в скобках:
.
При этом предыдущее уравнение примет вид
.
Решив первое из двух последних уравнений (оно с разделяющимися переменными), получим v, подставим v во второе уравнение (и оно с разделяющимися переменными) и найдем u. Осталось подставить найденные функции в формулу решения .
Однородное дифференциальное уравнение первого порядка – это уравнение вида
,
где – однородные функции одного порядка (
,
, k – порядок однородности).
Такое уравнение приводится к виду
и решается с помощью замены . При этом
,
(x – переменная, поэтому
).
В результате получаем уравнение
,
где . А это уравнение с разделяющимися переменными (способ решения описан выше).
Дифференциальное уравнение в полных дифференциалах – это уравнение вида
,
где и
удовлетворяют условию
.
В этом случае левая часть уравнения является полным дифференциалом некоторой функции :
,
и уравнение можно переписать так:
,
а его решение (в результате интегрирования) примет вид:
.
Функцию находят по формуле
|
|
( выбирают таким образом, чтобы интегралы в правой части имели смысл). В итоге получаем решение дифференциального уравнения (общий интеграл):
.
Пример 1. Дано дифференциальное уравнение . Требуется: 1) найти общее решение дифференциального уравнения; 2) решить задачу Коши, если
.
Решение. 1) Поскольку , перейдем к уравнению
.
Это уравнение с разделяющимися переменными. Действительно, если разделить его на и умножить на
, получим
.
Переменные разделены (при – только функции, зависящие от x, а при
– от y), значит, уравнение можно интегрировать:
.
В результате получим общий интеграл дифференциального уравнения (решение в неявном виде)
.
Найдем общее решение, выразив y через x:
.
2) Решаем задачу Коши – находим частное решение при условии, что , то есть определяем C, подставляя в общее решение
и
:
.
При этом , значит,
и частное решение имеет вид
.
Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения
.
Решение. Это уравнение вида – линейное дифференциальное уравнение I порядка. Будем решать его методом Эйлера-Бернулли с помощью подстановки
, где u и v две неизвестные функции. При этом
. Подставляем полученные выражения в уравнение:
и группируем слагаемые
.
Так как одну из функций u или v можно выбрать произвольно (лишь произведение uv должно удовлетворять исходному уравнению), найдем v, приравняв к 0 выражение в скобках:
.
При этом предыдущее уравнение примет вид
.
Рассмотрим два последних уравнения.
Первое уравнение () – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Действительно, так как
, получим
, или
.
Переменные разделены, уравнение интегрируем:
.
Находим какое-либо частное решение этого уравнения (полагая, например, ). Получаем
, или
.
Тогда
.
Подставим частное решение во второе уравнение (
):
, откуда
.
Полагая , получим
. Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные и интегрируем:
,
,
откуда .
Осталось подставить найденные функции в формулу решения
.
Пример 3. Найти общее решение дифференциального уравнения
.
Решение. Это уравнение вида , то есть однородное дифференциальное уравнение первого порядка. Решается с помощью замены
. При этом
,
(x – переменная, поэтому
). В результате получаем уравнение
, или
,
где , поэтому имеем
. А это уравнение с разделяющимися переменными. Переменные разделяем
,
уравнение интегрируем
.
В результате приходим к соотношению
,
откуда получаем общий интеграл дифференциального уравнения (решение в неявном виде)
.
Выразив y через x, получим общее решение:
,
.
Пример 4. Найти общий интеграл дифференциального уравнения
.
Решение. Если в уравнении
,
где и
удовлетворяют условию
,
то это дифференциальное уравнение в полных дифференциалах.
В нашем случае
и
,
имеем
.
Итак, задано дифференциальное уравнение в полных дифференциалах. Тогда его решение (общий интеграл) имеет вид
.
Получаем
,
откуда
,
,
,
.
Обозначив , окончательно получим
–
общий интеграл дифференциального уравнения.
Рекомендуемая к § 8 литература – см. библ. список [1, 3, 7, 9, 11, 12, 15, 18, 19, 22].
В задачах 610 – 666 найти общие решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка.
610. | ![]() | Ответ. | ![]() |
611. | ![]() | Ответ. | ![]() |
612. | ![]() | Ответ. | ![]() |
613. | ![]() | Ответ. | ![]() |
614. | ![]() | Ответ. | ![]() |
615. | ![]() | Ответ. | ![]() |
616. | ![]() | Ответ. | ![]() |
617. | ![]() | Ответ. | ![]() |
618. | ![]() | Ответ. | ![]() |
619. | ![]() | Ответ. | ![]() |
620. | ![]() | Ответ. | ![]() |
621. | ![]() | Ответ. | ![]() |
622. | ![]() | Ответ. | ![]() |
623. | ![]() | Ответ. | ![]() |
624. | ![]() | Ответ. | ![]() |
625. | ![]() | Ответ. | ![]() |
626. | ![]() | Ответ. | ![]() |
627. | ![]() | Ответ. | ![]() |
628. | ![]() | Ответ. | ![]() |
629. | ![]() | Ответ. | ![]() |
630. | ![]() | Ответ. | ![]() |
631. | ![]() | Ответ. | ![]() |
632. | ![]() | Ответ. | ![]() |
633. | ![]() | Ответ. | ![]() |
634. | ![]() | Ответ. | ![]() |
635. | ![]() | Ответ. | ![]() |
636. | ![]() | Ответ. | ![]() |
637. | ![]() | Ответ. | ![]() |
638. | ![]() | Ответ. | ![]() |
639. | ![]() | Ответ. | ![]() |
640. | ![]() | Ответ. | ![]() |
641. | ![]() | Ответ. | ![]() |
642. | ![]() | Ответ. | ![]() |
643. | ![]() | Ответ. | ![]() |
644. | ![]() | Ответ. | ![]() |
645. | ![]() | Ответ. | ![]() |
646. | ![]() | Ответ. | ![]() |
647. | ![]() | Ответ. | ![]() |
648. | ![]() | Ответ. | ![]() |
649. | ![]() | Ответ. | ![]() |
650. | ![]() | Ответ. | ![]() |
651. | ![]() | Ответ. | ![]() |
652. | ![]() | Ответ. | ![]() |
653. | Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:
Сейчас читают про:
|