Физический и геометрический смыслы
Производной
Вопросы темы:
Понятия: приращение функции и приращение аргумента.
Физический и геометрический смыслы отношения приращений.
Определение производной функции.
Алгоритм нахождения производной.
Домашнее задание.
Вопрос 1. Понятия: приращение функции
и приращение аргумента
Рис.1
Рассмотрим некую произвольную, определенную и непрерывную на промежутке (a; b), функцию (Рис.1), рассмотрим линию графика функции и дадим физическую интерпретацию:
Построим систему координат и кривую (Рис.1), где
независимая переменная или аргумент (время),
– зависимая переменная или функция (расстояние),
– закон (правило), по которому каждому значению ставится в соответствие только одно значение .
Зафиксируем момент времени (Рис.2). В этот момент времени можно вычислить расстояние по заданному закону , то есть имеем
точку А с координатами .
Эта точка А показывает, что в данный момент времени , расстояние составило – .
Дадим аргументу приращение , то есть прошло некоторое время (приращение). Новый момент времени, который будет рассматриваться – это уже (первоначальный момент времени плюс приращение времени (аргумента)).
Рис.2
Построим секущую к графику функции (Рис.2).
– приращение аргумента – это разность между новым значением аргумента (времени) и старым ((х0 + ∆х) – х0).
Итак, в новый момент времени , имеем расстояние (от первоначального пункта) – .
Это расстояние можно вычислить по заданному закону, то есть если подставить в функцию новое значение независимой переменной (аргумента), то можно вычислить новое значение функции:
так получилась точка В (вторая точка, в которой секущая пересекает линию графика заданной функции) на графике функции имеем точку В с координатами
.
В результате получилась секущая , которая наклонена к оси под углом .
– секущая, – ее угол наклона.
Этот угол, во – первых, в верхней полуплоскости и, во – вторых, с положительным направлением оси .
Рассмотрим треугольник (Рис.3). Он прямоугольный. В этом треугольнике острый угол – это угол – угол наклона секущей. Один из катетов (горизонтальный) – это приращение аргумента, а второй катет (вертикальный) – это разность между значением функции в новой точке и значением функции в старой точке (приращение функции).
Рис.3
Приращение функции = и приращение аргумента = ((х0 + ∆х) – х0) представлены на Рис.3.
Величину катета обозначаем – это приращение функции и вычисляется как разность значений функции в новый момент времени минус значение функции в старый момент времени
.
Вопрос 2. Физический и геометрический смыслы
отношения приращений ∆f/∆x
Рассмотрим отношение уже известных нам двух величин: ,
где – приращение функции,
– приращение аргумента (Рис.4).
1. Из физических соображений ясно, что отношение расстояния ко времени – это средняя скорость .
В этом заключается физический смысл отношения приращений .
Рис.4
2. С другой стороны отношение катета к катету – это тангенс угла – тангенс угла наклона секущей, то есть отношение приращений функции и аргумента – это тангенс угла наклона секущей .
В этом заключается геометрический смысл отношения приращений .
Вопрос 3. Определение производной функции
Пусть приращение аргумента стремится к нулю: .
Понятно, что и приращение функции также будет стремиться к нулю: .
При этом, секущая, оставаясь неподвижной в точке А, будет менять угол наклона по отношению к оси Ох, а точка , означающая положение приращений аргумента (х) и функции (у) при их стремлении к нулю, будет стремиться к точке , а секущая будет стремиться занять свое предельное положение - положение касательной в точке к линии графика функции (Рис.4).
Выразим в виде условных обозначений то, что имеем:
Зафиксируем эту касательную, при этом угол альфа – это угол наклона этой касательной.
Это означает, что угол φ (фи) наклона секущей будет приближаться к углу ά (альфа) наклона касательной, а при этом тангенс угла φ будет стремиться а тангенсу угла ά:
tgφ → tgά при .
Если зафиксировать точку , то отношение зависит только от величины .
Если отношение при стремится к какому-то числу, то это число называется производной функции в точке и обозначается .
Определение:
Производной функции в точке называется число, к которому стремится разностное соотношение при .
Определение производной с помощью предела:
Предел при разностного отношения , если он существует, называется производной функции в точке и обозначается .
Следовательно, соотношение приращений при можно выразить с помощью предела:
lim ∆y/∆x = lim tgφ = tg ά = k,
∆х→0 ∆х→0
где k – это угловой коэффициент
касательной к линии графика функции.
Предел lim ∆y/∆x в математике называют
∆х→0
производной функции или производной и обозначают f’(x).
С помощью этой формулы производной можно решить задачи по определению мгновенной скорости, силы переменного тока в проводнике и по определению углового коэффициента касательной к определенной точке кривой, а также задачи о скорости протекания химических реакций, нахождения линейной плотности неоднородного стержня, о величине теплоемкости тела при его нагревании, об угловой скорости вращающегося тела и другие.
Функция, имеющая производную в каждой точке интервала (a; b) называется дифференцируемой в этом интервале;
Операция нахождения производной функции называется дифференцированием.
Если функция имеет производную в точке x=a, то говорят, что она дифференцируема в этой точке.
Если функция имеет производную в каждой точке данного промежутка, то говорят, что функция дифференцируема на этом промежутке.