Приложение 1.
Конспект лекции
¾ 1 ¾
Пирамида.
Рассмотрим многоугольник А1А2 … Аn и точку Р, не лежащую в плоскости этого многоугольника. Соединив точку Р отрезками с вершиной многоугольника, получим n треугольников (рисунок 1): РА1А2, РА2А3 …, РАnА1.
Многогранник, состоящий из n-угольника А1А2 … Аn и n треугольников РА1А2, РА2А3 …, РАnА1, называется пирамидой.
Многоугольник А1А2 … Аn – основание, треугольники РА1А2, РА2А3 …, РАnА1 – боковые грани. Точка Р – вершина, отрезки РА1, РА2 , …, РАn – боковые ребра.
Обозначение: РА1А2 … Аn – n-угольная пирамида.
P вершина
Bn
B1 С
β B2
An
H
A1
α Е
A2
РИС. 1
Перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости основания – высота (РН).
PE – апофема (высота боковой грани для правильной пирамиды)
Пирамида называется правильной, если её основание правильный многоугольник, а отрезок соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является её высотой.
|
|
Все боковые ребра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками.
Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из вершины, называется апофемой ( РЕ)
Усеченная пирамида.
Проведем в пирамиде РА1А2 … Аn секущую плоскость b, параллельную плоскости a основания пирамиды и пересекающую боковые ребра в точках В1В2,…, Вn (рисунок 1).
Плоскость b разбивает пирамиду на 2 многогранника.
Многогранник, гранями которого является n-угольники А1А2 …Аn и В1В2 …Вn (нижнее и верхнее основание), расположенные в параллельных плоскостях, и n-4х угольников А1А2В2В1, А2А3В3В2, …, АnА1В1Вn (боковые грани), называется усеченной пирамидой.
Отрезки А1В1, А2В2, …, АnВn – боковые ребра.
Обозначение: А1А2 … АnВ1В2 … Вn – усеченная пирамида
Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой (СН).
Боковые грани усеченной пирамиды – трапеции.
Усеченная пирамида называется правильной, если она получена сечением правильной пирамиды плоскостью, параллельной основанию. Основания правильного усечения пирамиды – правильные многоугольники, а боковые грани – равнобедренные трапеции. Высоты этих трапеций называются апофемами.
- 2 –
Тетраэдр.
Рассмотрим произвольный треугольник АВС и точку D, не лежащую в плоскости этого треугольника. Соединив точку D отрезками с вершинами треугольника АВС, получим треугольники DAB, DBC и DCA. Поверхность, составленная из четырех треугольников АВС, DAB, DBC и DCA, называется тетраэдром и обозначается DABC.
|
|
грани (4)
ребра (6)
вершины тетраэдра (4)
Два ребра тетраэдра, не имеющие общих вершин, называются противоположными.
Одна из граней тетраэдра называется основанием, а три другие – боковыми гранями.
Сечения тетраэдра:
Тетраэдр имеет 4 грани, то его сечениями могут быть только
ü треугольники
ü четырехугольники
Правильный тетраэдр состоит из 4х равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной 3х треугольников, => сумма плоских углов при каждой вершине равна 180°.
Симметрия в правильном тетраэдре:
Тетраэдр имеет три оси симметрии, которые проходят через середины скрещивающихся рёбер.
Тетраэдр имеет 6 плоскостей симметрии, каждая из которых проходит через ребро тетраэдра перпендикулярно скрещивающемуся с ним ребру.
- 3 –
К правильным относятся 5 видов многогранникам:
1) Куб
2) Правильный тетраэдр
3) Правильный октаэдр
4) Правильный икосаэдр
5) Правильный додекаэдр
С кубом и тетраэдром мы уже познакомились. Теперь рассмотрим остальные фигуры.
Куб состоит из 6 квадратов, в каждой вершине сходятся 3 квадрата, => сумма плоских углов равна 270°.
Правильный октаэдр состоит из 8 равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной 4х треугольников, => сумма плоских углов при каждой вершине равна 240°.
Правильный икосаэдр состоит из 20 равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной 5ти треугольников, => сумма плоских углов при каждой вершине равна 300°.
Правильный додекаэдр состоит из 12 правильных пятиугольников. Каждая его вершина является вершиной 3х правильных пятиугольников, => сумма плоских углов при каждой вершине равна 324°.
Правильный октаэдр, правильный икосаэдр и правильный додекаэдр имеют центр симметрии и и несколько осей и плоскостей симметрии. Попробуйте подсчитать их число.
¾ 4 ¾
Площадью полной поверхности пирамиды называется сумма площадей всех ее граней, а площадью боковой поверхности пирамиды - сумма площадей ее боковых граней.
Sполн = Sбок + Sосн
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна ½ P · ℓ, где р – периметр, ℓ - апофема (высота)
Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды называется сумма площадей ее боковых граней.
Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна полусумме периметров оснований на апофему.
S бок = ½(Р+р) · ℓ
Приложение 2.