Пусть дана функция , возьмем значение аргумента x и зададим ему приращение
, это вызовет приращение функции
.
Производная: , т.к. при различных значениях x производная различна,
– функция аргумента x, т.е.
.
Пример. Вычислим производную . Пусть x получил приращение
, тогда
;
; т.е.
.
Свойства производной
1) Производная ,
,
,
.
Пусть и
– две функции, имеющие производные.
2) ;
.
3)
, т.е.
.
4). .
5) .
Производная сложной и обратной функций
Сложная функция
Пусть задана функция и функция
, тогда
называется сложной функцией.
Пример. ;
;
;
;
;
и т.д.
Пусть эти функции – дифференцируемые. Пусть x получил приращение , тогда функции
и
получают приращение
и
. Рассмотрим
. Перейдем к пределу (если
, то
):
.
Обратная функция
Пусть , будем считать y за аргумент, а x – за функцию. Тогда
– обратная функция, может быть многозначной.
-обратная,
– двузначная функция и т.д.
Если – монотонная функция, то существует непрерывная обратная функция
.
. Перейдя к пределу:
или
.
Производные тригонометрических функций
а)
Воспользуемся схемой нахождения производной:
;
;
;
(учли первый замечательный предел и непрерывность функции ).
Итак, и
.
б) ;
;
и
.
в) ;
;
т.е.
и
.
г) ;
;
;
.
Производная обратных тригонометрических функций
а) , где
и
.
Обратная функция имеет вид , причем
, если
.
Используем правила дифференцирования обратной функции
.
При производная не существует.
Итак, и
.
б) Поскольку
, то
;
.
Аналогично, ;
.
;
.