1. При классическом способе подсчета вероятность события А вычисляется по формуле
,
где все элементарные исходы равновозможны (т.е. ни один из них не является более возможным, чем другой),несовместны и единственно возможны;
n – общее число всех возможных элементарных исходов испытания;
m – число элементарных исходов испытания, благоприятствующих появлению события А.
2. Для подсчета m и n, а также для других целей, часто приходится использовать комбинаторные понятия и формулы.
Пусть имеется n различных объектов (элементов).
а). Расположение их всех в каком-нибудь определенном порядке называется перестановкой из n элементов.
Перестановки, состоящие из одних и тех же элементов, отличаются только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок: ,
где , n=1,2,3,…; 1! = 1, 0! = 1.
б). Расположение некоторых m (m n) из них в определенном порядке называется размещением m элементов из n элементов. Размещения отличаются и составом и порядком элементов. Число всех возможных размещений
|
|
.
Понятно, что при m=n размещение является перестановкой.
в). Если не принимать во внимание порядок элементов в размещении, а учитывать только его состав, то получится сочетание m элементов из n. Сочетания отличаются только составом элементов.
Число всех возможных сочетаний
.
3. Геометрический способ подсчета вероятности применяется, когда элементарные исходы эксперимента могут быть интерпретированы как точки отрезка, фигуры или тела.
Пусть отрезок l составляет часть отрезка L. Если предположить, что вероятность попадания точки на отрезок l пропорциональна длине этого отрезка, то вероятность попадания точки на отрезок l определяется равенством
Р = Длина l/ Длина L.
Аналогично определяются вероятность попадания точки в плоскую фигуру g, составляющую часть плоской фигуры G
Р = Площадь g/Площадь G
и вероятность попадания точки в пространственную фигуру , которая составляет часть фигуры V
Р = Объём / Объём V.
Пример 1. (Варианты 1,2,3,4)
В ящике имеется 15 деталей, среди которых 10 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает три детали. Найти вероятность того, что извлеченные детали окажутся окрашенными.
Решение:
Событие А = {извлечены три окрашенных детали}. Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь 3 детали из 15, т.е.
Число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию, равно числу способов, которыми можно извлечь 3 детали из 10 окрашенных, т. е.
Пример 2. (Варианты 5,6,7,8)
В цехе работают шесть мужчин и четыре женщины. Наудачу отобраны семь человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся три женщины и четыре мужчины.
|
|
Решение:
Событие А= {среди отобранных ровно три женщины}. Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно выбрать 7 человек из всех работников, цеха, т.е. из 10 человек.
Подсчитаем число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию (среди 7 отобранных ровно 3 женщины): трёх женщин можно выбрать из четырёх способами; при этом остальные 4 человека должны быть мужчинами. Выбрать же четырех мужчин из шести мужчин можно способами.
Следовательно,
Пример 3. (Варианты 9,10)
На плоскости начерчены две концентрические окружности, радиусы которых 5 и 10 см. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в большой круг, попадает в кольцо, образованное построенными окружностями.
Решение:
Площадь кольца (фигуры g) .
Площадь большого круга
Искомая вероятность .
Тема 2. Операции над событиями.