14.5.1. Вычислить криволинейные интегралы: а) , где – отрезок прямой , заключенный между точками и ; б) , где – первая арка циклоиды , ; в) , где – окружность ; г) , где – четверть окружности , , лежащая в первом октанте.
14.5.2. Найти координаты центра масс винтовой линии , , , считая линию однородной.
14.5.3. Вычислить площадь части цилиндрической поверхности , заключенной между плоскостью и поверхностью ().
14.5.4. Вычислить криволинейный интеграл вдоль линии: а) ; б) ; в) ; г) .
14.5.5. Вычислить: а) , где – отрезок прямой от точки до точки ; б) , где – линия пересечения сферы и цилиндра (). Направление обхода линии против часовой стрелки при взгляде из начала координат.
14.5.6. Вычислить интеграл по окружности непосредственно и с помощью формулы Грина.
14.5.7. Проверить, что выражение является полным дифференциалом некоторой функции , и найти эту функцию, если: а) ; б) .
Ответы. 14.5.1. а) ; б) ; в) ; г) . 14.5.2. . 14.5.3. . 14.5.4. а) ; б) ; в) ; г) . 14.5.5. а) ; б) . 14.5.6. . 14.5.7. а) ; б) .
ЧАСТЬ В)
|
|
ДИВЕРГЕНЦИЯ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ. ФОРМУЛА ГАУССА-ОСТРОГРАДСКОГО
15.1. Дивергенция векторного поля
Дивергенцией векторного поля называется скалярная функция .
Дивергенция является дифференциальным оператором первого порядка. Она обладает свойством линейности: , где — числовая константа.
Отметим, что в криволинейных координатах (например, в цилиндрических или сферических) формула для вычисления дивергенции имеет другой вид.
Поток векторного поля через замкнутую поверхность.