Симметри́ческий многочле́н — многочлен от n переменных , не изменяющийся при всех перестановках входящих в него переменных.
Примеры
- Дискриминант — многочлен вида
, где
— корни некого многочлена от одной переменной:
.
- Степенные суммы — суммы одинаковых степеней переменных, то есть
- Основные симметрические многочлены — многочлены вида
определённые для , то есть такие:
ПОРЯДОК ЭЛЕМЕНТА ГРУППЫ
Описание
Пусть — группа и
— элемент группы.
Определение 1. Говорят, что имеет порядок 1)
, если
— наименьшее положительное число такое, что
, то есть
. Если такого положительного
не существует, то говорят, что
имеет бесконечный порядок 2). Порядок единичного элемента
считается равным нулю.
Предложение 1. Пусть — конечная группа и
— некоторый ее элемент. Тогда
делит порядок группы
.
Примеры
- В множестве целых чисел
любой ненулевой элемент имеет бесконечный порядок.
- В группе классов вычетов
элементы
и
имеют порядок 6, элементы
и
— порядок 3, элемент
— порядок 2.
Определение: |
Порядком элемента ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
- Порядок любого ненулевого элемента в группе целых чисел по сложению равен бесконечности.
- Порядок элемента
в группе вычетов по модулю
конечен и равен двум, поскольку
.
Утверждение: |
В конечной группе у всех элементов конечный порядок. |
![]() |
Действительно, необходимо при некоторых ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() |
|
|
Определение: |
![]() ![]() |
- Группа вычетов по модулю простого числа относительно сложения:
.
- Циклическая группа порядка
.
ПОРЯДОК ГРУППЫ
Пусть — группа, если
— конечное множество, то порядком группы называется число элементов
и обозначается
или
. Если
— бесконечно, то порядок бесконечен.
СМЕЖНЫЙ КЛАСС
СМЕЖНЫЙ КЛАСС группы. но подгруппе Н(л евый) - множество элементов группы G, равное где а - нек-рый фиксированный элемент из G. С. к. наз. также левосторонним С. к. группы G по подгруппе Н, определяемым элементом а. Всякий левый С. к. определяется любым из своих элементов. aН=H тогда и только тогда, когда
Для любых
С. к. aН и bН либо совпадают, либо не пересекаются. Таким образом, группа G распадается на непересекающиеся левые С. к. по подгруппе Н - это разложение наз. левосторонним разложением группы Gпо подгруппе H. Аналогично определяются правые смежные классы (множества На,
) и правостороннее разложение группы G по подгруппе H. Оба разложения - правостороннее и левостороннее - группы G по Нсостоят из одного и того же числа классов (в бесконечном случае совпадают мощности множеств этих классов). Это число (мощность) наз. индексом подгруппы. в группе G. Для нормальных делителей левостороннее и правостороннее разложения совпадают, и в этом случае говорят просто о разложении группы по ее нормальному делителю.
|
|