Малое расстояние на поверхности
в направлении
может быть найдено по первой квадратичной форме
.
На этом основании первая квадратичная форма поверхности определяет метрику на поверхности. Матрица Грама этой метрики:
,
,
Детерминант метрической формы равен
.
Для любых векторов и
, угол между которыми равен
, имеем
,
,
поэтому верно соотношение
.
Перепишем это равенство для ,
:
.
Отсюда, используя обозначения (III.4.2), находим:
,
. (III.5.1)
Вместе с тем, получено
и детерминант первой квадратичной формы есть ее дискриминант.
Длину дуги кривой, проходящей через точку в направлении
можно вычислить на основании дифференциала дуги
(III.4.1):
.
Если через точку проходит еще одна линия
в направлении
, то угол
между кривыми
и
есть угол между векторами
и
и может быть найден из формулы
.
Если первое направление есть направление -линии: ,
, второе направление есть направление
-линии:
,
, и
угол между
-линией и
-линией, то
.
Выполняется .
Элемент площади фигуры на поверхности равен
|
|
и по (III.5.1):
.
Теперь площадь фигуры , лежащей на поверхности
, вычисляется по формуле
.
Итак, на основании первой квадратичной формы (III.4.3) поверхности
на поверхности вычисляются длины линий между заданными точками, углы между линиями и площади фигур, лежащих на поверхности, т.е. могут быть произведены все измерения. Форма
действительно является метрической.