Определим теперь вид функции Лагранжа для одной свободной частицы. Как показано выше, в этом случае . При этом уравнения движения во всех инерциальных отчетах должны иметь один и тот же вид.
Пусть система движется относительно с постоянной скоростью . Тогда функция Лагранжа в системе должна перейти в такую функцию в системе , которая, если и отличается от функции , то лишь на полную производную какой-то функции координат и времени. Поскольку , то
, т.е. (7)
Учитывая это, сразу получаем, что для свободной частицы ф. Лагранжа должна быть пропорциональна квадрату скорости:
(8)
Уравнение Лагранжа для свободной частицы теперь будет выглядеть так:
, т.е.
Сравнивая это с уравнением второго закона Ньютона для свободной частицы , находим, что . Здесь - инертная масса тела. Таким образом, окончательно получаем следующее выражение для функции Лагранжа одной свободной частицы:
(9)
Отметим, что в этом пункте мы существенно воспользовались вторым законом Ньютона. Иначе мы не смогли бы понять, что есть .
Если механическая система состоит не из одной, а из невзаимодействующих частиц, то в силу свойства аддитивности функции Лагранжа, получим
(10)
Величина
(11)
называется кинетическойэнергией - ой частицы.
Сумма кинетических энергий всех частиц есть полная кинетическая энергия системы:
(12)
Таким образом, кинетическая энергия есть величина аддитивная.
Рассмотрим теперь систему м.т., взаимодействующих только друг с другом, но ни с какими посторонними телами, не входящими в эту систему. Такая система называется замкнутой системой.
Оказывается, что в классической механике, когда скорости частиц малы по сравнению со скоростью света , взаимодействие между точками системы может быть описано прибавлением к функции Лагранжа невзаимодействующих точек, некоторой функции координат . Конкретный вид этой функции зависит от характера взаимодействия между частицами. Величина называется потенциальной энергией системы. С учетом сказанного, в самом общем виде, ф. Лагранжа для замкнутой системы из м.т. в декартовой системе координат будет выглядеть так:
(13)
Потенциальная энергия зависит от положения всех м.т. в один и тот же момент времени . Это означает, что изменение положения хотя бы одной из них, мгновенно отражается на всех остальных. Следовательно, в классической механике считается, что взаимодействие между телами «распространяется» мгновенно, с бесконечно большой скоростью.
Зная функцию Лагранжа, можем записать систему уравнений Лагранжа в следующем символическом векторном виде:
, (14)
Поскольку , а , то система уравнений (14) примет вид:
, (15)
Вектор
(16)
называется силой, действующей на -ю частицу, со стороны всех остальных частиц системы. Вместе с сила зависит только от координат частиц, но не от их скоростей: . Теперь система уравнений Лагранжа запишется так:
(17)
Таким образом, если в качестве обобщенных координат выбрать декартовы координаты, уравнения Лагранжа сводятся к системе уравнений второго закона Ньютона.
При решении большинства задач, оказывается удобным использовать не декартовы, а некоторые обобщенные координаты . В этом случае для написания функции. Лагранжа нужно произвести соответствующие преобразования. Прежде всего, нужно выразить все декартовы координаты точек через обобщенные координаты :
.
Затем нужно выразить кинетическую энергию системы через выбранные обобщенныекоординаты. Т.к.
,
то
Обозначим
(18)
Отсюда видно, что матрица зависит только от обобщенных координат и является симметричной матрицей. Таким образом, в обобщенных координатах кинетическая энергия системы по-прежнему является квадратичной функцией скоростей, но может зависеть и от обобщенных координат:
.
Теперь функцию Лагранжа запишем в виде:
(19)