Цель: сформировать умение выполнять арифметические действия с комплексными числами.
Теоретические сведения к практическому занятию:
Комплексное число – это выражение вида
, (1.1)
где x, y – вещественные числа, а – мнимая единица. Первое из вещественных чисел, x, называется вещественной (действительной) частью комплексного числа (используется обозначение ); второе, y, - мнимой частью (). Выражение (1.1) называют алгебраической формой записи комплексного числа.
Числом, сопряженным к , называют число вида . Используя формулу разности квадратов, получаем, что . Можно доказать, что корнями квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом являются два сопряженных комплексных числа.
Пример 1. Решить уравнение .
Решение. Дискриминант данного уравнения: меньше нуля, но теперь мы можем воспользоваться мнимой единицей:
, т.е. ; .
Справедливы следующие правила арифметических действий над комплексными числами и :
|
|
1) (осуществляется сложение или вычитание алгебраических двучленов и приведение подобных);
2) (осуществляется перемножение алгебраических двучленов и приведение подобных с учетом того, что );
3) (эта операция возможна только в случае, когда ).
Пример 2. Вычислить и указать вещественную и мнимую части полученного комплексного числа.
Решение. Действуя в соответствии с правилами получаем:
;
поэтому , .
Тригонометрическая форма комплексного числа. Каждому комплексному числу вида (1.1) можно поставить в соответствие точку M(x;y) на декартовой плоскости (при этом на оси OX располагаются вещественные числа , а на оси OY – чисто мнимые числа ).
Модулем комплексного числа назовем длину отрезка (или расстояние от начала координат до точки M), т.е. . Аргументом комплексного числа () назовем угол, который вектор образует с положительным направлением оси OX. Главное значение аргумента, которое, как правило, используется при осуществлении действий с комплексными числами, удовлетворяет условию . При этом выражение вида
(1.2)
называется тригонометрической формой записи комплексного числа.
Преобразуем (1.1)
и, сравнивая с (1.2), получаем, что аргумент z можно найти, решив систему
или (1.3.)
Пример 3. Записать комплексное число в тригонометрической форме , указать модуль и аргумент комплексного числа.
Решение. По определению . Для определения аргумента воспользуемся формулой: . Получаем, что . Тригонометрическая форма заданного комплексного числа имеет вид: .
|
|
Возведение в степень и извлечение корней. Если комплексное число задано тригонометрической формой , то справедлива формула Муавра
. (1.4)
Для извлечения корня n -й степени (n – целое число, большее 1) из комплексного числа, заданного в тригонометрической форме, применяется формула, дающая n значений этого корня:
, k=0,1,…,n-1. (1.5)
Самостоятельная работа:
Задание 1. Вычислить, выписать вещественную и мнимую части полученных комплексных чисел.
1) 2) 3) 4)
Задание 2. Найти все корни уравнений:
1) ; 2) ; 4) ;
5) ; 6) 7)
Содержание практического занятия:
А. Ответить на вопросы:
1) Дайте определение комплексного числа. Приведите примеры.
2) Как называется каждая из частей комплексного числа? Приведите примеры.
3) Какое число называется числом, сопряженным к комплексному числу? Приведите примеры.
4) Назовите основные арифметические действия над комплексными числами. Приведите примеры.
Б. Выполнить задания:
Задание 1. Вычислить, выписать вещественную и мнимую части полученных комплексных чисел.
1) 2) 3)
Задание 2. Вычислить, выписать вещественную и мнимую части полученных комплексных чисел.
1) 2) 3) 4)