Пусть на плоскости xy дана кривая l с началом в точке A и с концом в точке B. Пусть в каждой точке кривой плотность определена как функция координат этой точки . Требуется найти массу данной кривой.
Всю кривую разобьем на п частей точками так, чтобы . Обозначим - длина i -го участка разбиения. На каждом промежутке разбиения произвольным образом выберем точку . Предположим, что плотность на каждом участке разбиения постоянна и равна значению в точке . Тогда масса i -го участка . Таким образом, масса всей кривой . Данное равенство тем точнее, чем на большее число частей мы разбиваем кривую.
Замечание.
Подобные задачи возникают не только в физике, но и в геометрии. Например, задача о площади боковой поверхности цилиндрического тела.
Дадим общее определение, не связанное с физическими и геометрическими свойствами.
Определение криволинейного интеграла 1-го рода.
Пусть на плоскости xy дана некоторая область D. Пусть в этой области дана гладкая кривая, в каждой точке которой определена функция . Разобьем всю кривую произвольным образом на n частей точками и обозначим - длина i -го участка разбиения. На каждом участке разбиения произвольно выберем точку и составим интегральную сумму .
Если существует конечный предел интегральной суммы, не зависящий ни от способа разбиения кривой на части, ни от выбора точек, тогда он называется криволинейным интегралом 1-го рода или криволинейным интегралом по длине дуги.
.
Свойства криволинейных интегралов 1-го рода.
1. .
2. .
3. Если кривая L разбита на 2 части l1 и l2, тогда справедливо равенство
.
4. Значение интеграла не зависит от порядка интегрирования
.