Пусть линейно поляризованная плоская электромагнитная волна падает на плоскую бесконечно протяженную границу раздела двух однородных изотропных сред, характеризуемых параметрами соответственно. Введем прямоугольную систему координат так, чтобы плоскость совпадала с поверхностью раздела, а плоскость падения-с плоскостью . Угол между направлением распространения волны и нормалью к поверхности раздела будем называть углом падения (рис. 24).
В выбранной системе координат направляющие косинусы, определяющие направление распространения волны,
(5)
Следовательно, фазовый множитель падающей волны имеет вид
Предполагается, что падающая волна является нормально поляризованной. В этом случае соответствующий ей вектор напряженности электрического поля параллелен оси . При этом вектор напряженности магнитного поля лежит в плоскости падения (рис.25). Подставляя формулы (5) в (4) и учитывая, что в рассматриваемом случае - характеристическое сопротивление волны в первой среде, получаем
|
|
Рис.25 |
Рис.24 |
(6)
где .
Отметим, что постоянная равна значению комплексной амплитуды - й составляющей напряженности электрического поля в начале координат (при ). Соответственно векторная постоянная равна значению комплексной амплитуды вектора в начале координат.
Из физических соображений очевидно, что падающая волна может частично (или полностью) отразиться от границы раздела () и частично (или полностью) пройти во вторую среду. Естественно предположить, что отраженная и преломленная волны будут плоскими.
Если, исходя из этого предположения, удастся найти поле, удовлетворяющее граничным условиям
(7)
где - касательные составляющие векторов в первой и во второй средах соответственно, то это поле будет решением рассматриваемой задачи.
Граничные условия (7) должны выполняться на всей плоскости , т.е. при любых значениях переменных . Так как поле падающей волны (6) не зависит от переменной , то необходимо предположить, что поле отраженной и преломленной волн также не зависит от координаты . Это означает, что векторы, определяющие направление распространения отраженной и преломленной волн, параллельны плоскости . Можно также предположить, что отраженная и преломленная волны являются нормально поляризованными (рис.25). С учетом сделанных предположений выражения для векторов поля отраженной волны могут быть получены из формул (6), если в последних заменить , , где - угол между осью и направлением распространения отраженной волны (см. рис.24 и 25), а - некоторая, пока неизвестная постоянная, равная значению комплексной амплитуды -й составляющей напряженности электрического поля отраженной волны. Обычно вместо угла рассматривают угол , называемый углом отражения. Так как , то . При этом
|
|
(8)
где .
Поле преломленной волны определяется аналогично:
(9)
где ; ; - угол преломления (рис.7.3); - характеристическое сопротивление волны во второй среде, a - некоторая, постоянная, равная значению комплексной амплитуды -й составляющей напряженности электрического поля преломленной волны. Ориентация векторов и падающей, отраженной и преломленной волн показана на рис.25. Углы и так же, как и постоянные и подлежат определению.
Граничные условия (7) должны выполняться при всех значениях координаты . Это возможно только в том случае, если зависимость векторов и от переменной во всех трех волнах будет одинаковой. Поэтому необходимо, чтобы
(10)
(11)
Так как углы и заключены в интервале , то из равенства (10) следует первый закон Снеллиуса , ("Угол падения равен углу отражения"). Из равенства (11) вытекает соотношение , которое в случае идеальных однородных изотропных сред выражает второй закон Снеллиуса ("Отношение синуса угла преломления к синусу угла падения равно относительному показателю преломления сред "). Действительно, коэффициент преломления среды , где - скорость света в вакууме, а - скорость света (фазовая скорость волны ) в рассматриваемой среде). Следовательно, , где и - фазовые скорости волны в первой и второй средах соответственно.
Отметим, что соотношение (11) остается верным и в случае проводящих сред. Пусть, например, первая среда - идеальный диэлектрик, а вторая обладает проводимостью, отличной от нуля. Тогда параметр будет комплексной величиной, а , и угол останутся вещественными. Для выполнения равенства (11) при этом придется считать величину комплексной, не имеющей простого геометрического смысла (см. 6).
Для определения постоянных используем граничные условия (7). Так как поле в первой среде складывается из полей падающей и отраженной волн, а поле во второй среде совпадает с полем преломленной волны, то формулы (7) принимают вид
(12)
Подставляя в эти выражения значения соответствующих составляющих комплексных амплитуд напряженности электрического и магнитного полей и учитывая равенства (10) и (11), приходим к соотношениям
(13)
Как видно, постоянные и пропорциональны :
(14)
где и - коэффициенты отражения и прохождения соответственно. Их также часто называют коэффициентами Френеля. Символ означает, что рассматриваются нормально поляризованные волны. Деля обе части уравнений (13) на , получаем
(15)
Решая эту систему уравнений, находим значения коэффициентов Френеля для случая нормальной поляризации:
(16)
(17)
В формулах (15) и (16) можно исключить угол преломления , выразив через синус угла падения . Указанные формулы справедливы и в том случае, если одна из сред (или обе среды) обладают проводимостью. При этом диэлектрическая проницаемость соответствующей среды будет комплексной величиной, комплексными также будут соответствующие параметры и , а следовательно, и коэффициенты и .
Как видно из формул (14), модуль коэффициента отражения представляет собой отношение амплитуд напряженностей электрических полей отраженной и падающей волн в точке отражения (в рассматриваемом случае в любой точке границы раздела сред), а его аргумент равен разности фаз этих напряженностей в той же точке. Аналогично определяются модуль и аргумент коэффициента прохождения: в этом случае нужно только вместо отраженной волны рассматривать преломленную волну.
В тех случаях, когда проводимостью обладает только вторая среда, а магнитные проницаемости обеих сред одинаковы, формулу (16) обычно записывают в несколько иной форме. Пусть, например, первая среда - воздух ), тогда выражение (16) может быть переписано в виде
|
|
где - угол между направлением распространения падающей волны и плоскостью раздела; - комплексная относительная диэлектрическая проницаемость второй среды.
Для расчета электромагнитного поля, возникающего в результате падения на плоскую границу раздела двух сред нормально поляризованной плоской волны в первой среде, достаточно сложить поля, определямые формулами (6) и (8). При этом в формулах (8) нужно заменить на и учесть соотношение . Во второй среде искомое поле совпадает с полем преломленной волны и может быть рассчитано по формулам (9), в которых нужно учесть равенство и второй закон Снеллиуса (11).