Пусть функция определена и непрерывна для всех значений x, таких, что
.
Определение. Если существует конечный предел , то этот предел называется несобственным интегралом от функции
на интервале
и обозначается
. Следовательно,
.
Говорят, что в этом случае несобственный интеграл существует или сходится. Если предел
не является конечным, то говорят, что
не существует или расходится.
Геометрический смысл несобственного интеграла.
Если , то несобственный интеграл
выражает площадь неограниченной (бесконечной) области, заключенной между линиями
, x = a и осью OX.
Аналогичным образом определяются несобственные интегралы для других бесконечных интервалов:
,
.
Последнее равенство означает, что если каждый из несобственных интегралов, стоящих справа, существует, то существует (сходится), по определению, и интеграл, стоящий слева.
Примеры:
1)
2)
,
.
Тогда .
Интеграл от разрывной функции.
Пусть функция определена и непрерывна при
, а при x = c функция либо не определена, либо имеет разрыв.
|
|
Определение. Интеграл от функции
, разрывной в точке c, определяется следующим образом:
.
Если предел, стоящий справа, существует, то интеграл называется несобственным сходящимся интегралом, в противном случае интеграл называется расходящимся.
Пример:
Если функция имеет разрыв в левом конце отрезка [ a; c ] (т.е. при x = a), то по определению:
.
Если функция имеет разрыв в некоторой точке
внутри отрезка [ a; c ], то
,
если оба несобственных интеграла, стоящих в правой части равенства, существуют.
Пример:
Таким образом, расходится.
Замечание. Если функция , определённая на отрезке [ a; b ], имеет внутри этого отрезка конечное число точек разрыва
, то интеграл от функции
на отрезке [ a; b ] определяется следующим образом:
,
если каждый из несобственных интегралов в правой части равенства сходится. Если хотя бы один из этих интегралов расходится, то и называется расходящимся.