Теорема. Пусть относительно прямоугольно-декартовой системы координат заданы вектор и плоскость, заданная (2). Тогда необходимое и достаточное условие компланарности вектора и данной плоскости имеет вид:
Доказательство:
· Отложим вектор от произвольной точки заданной плоскости.
· Конец Р отложенного вектора будет иметь координаты .
· Вектор коллинеарен заданной плоскости тогда и только тогда, когда точка Р лежит в данной плоскости, т.е. выполняется уравнение (2):
.
· лежит в плоскости, следовательно, .
· После раскрытия скобок с учётом уравнения выше остаётся условие:
.
Из этой теоремы следует, что главный вектор плоскости , заданной общим уравнением плоскости относительно общей декартовой системы координат, не компланарен этой плоскости: .
Уравнение плоскости, проходящей через 2 заданные точки и компланарной ненулевому вектору. Теоремы 1-3
Теорема. Пусть относительно прямоугольно-декартовой системы координат заданы две точки и и ненулевой вектор , компланарный плоскости . Тогда уравнение плоскости имеет вид:
|
|
Доказательство:
· Пусть три точки , точка с координатами , а также лежат на .
· Векторы с координатами , и вектор компланарны.
· Следовательно, матрица из их координат равняется 0.
Обратная теорема. Всякое решение уравнения (1) определяет точку с координатами , лежащую на плоскости.
Теорема: Пусть относительно прямоугольно-декартовой системы координат заданы , , . Тогда уравнение плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой:
Доказательство:
· Пусть , , лежат на одной плоскости.
· Возьмём произвольным образом точку , лежащую на плоскости, тогда векторы , , коллинеарны, так как лежат в одной плоскости.
· Следовательно, определитель, составленный из их координат, равен 0 ч.т.д.
Обратная теорема. Всякое решение уравнения (2) определяет точку, лежащую на плоскости.