Если скользящие векторы параллельны, то при их сложении главная трудность состоит в определении прямой, на которой будет расположена их сумма. (Величину и направление вектора суммы было бы естественно определить точно так же, как и в случае сложения свободных векторов.) В механике при изучении статики для решения вопроса о сложении параллельных сил, которые, как известно, задаются скользящими векторами, вводится дополнительная гипотеза: к системе векторов можно добавить два вектора, равных по величине, противоположных по направлению и расположенных на одной прямой, пересекающей прямые, на которых расположены данные вектора. Пусть, например, надо сложить скользящие векторы и
, расположенные на параллельных прямых. Добавим к ним векторы
, -
, расположенные на одной прямой. Прямые, на которых расположены векторы
,
и
, -
пересекаются. Поэтому определены векторы
=
+
и
=
-
.
Прямые, на которых расположены векторы и
пересекаются всегда, за исключением случая, когда векторы
и
равны по величине и противоположны по направлению, в котором говорят, что векторы
, -
образуют пару (векторов).
Таким образом, под суммой векторов и
можно понимать сумму векторов
и
и эта сумма векторов определена корректно во всех случаях, когда векторы
и
не образуют пару.
Вектором можно воспользоваться для задания направления в пространстве. Так как длина вектора для этой цели безразлична, то ради удобства в этом случае можно пользоваться вектором, длина которого равна единице. Такой вектор называют ортом, или единичным вектором. В частности, ортом данной оси называется вектор длины единицы, указывающий ее направление.
Рассмотрим вектор , параллельный данному орту
(рис.). Легко видеть, что этот вектор можно представить в виде
=
Р, (1)
где Р обозначает некоторое число (скаляр). Именно, Р = ± | |, где плюс берется, если
и
направлены одинаково, а минус — в противном случае. Это непосредственно вытекает из понятия произведения вектора и числа. Например, если длина вектора
равна 5 и он одинаково направлен с
, то
= 5
;
Ортогональная проекция вектора на ось
1. Угол между двумя направлениями. Прежде всего условимся, что называть углом между двумя направлениями на плоскости или в пространстве. Пусть даны два направления (например, направления двух осей, или двух векторов, или вектора и оси). Проведем из произвольной точки два вектора тех же направлений (рис.). Углом между рассматриваемыми направлениями называется тот из двух углов между этими векторами, который не превосходит
. Если направления одинаковы, то угол между ними равен нулю; если направления противоположны, то угол между ними равен
.
2. Углом между двумя векторами называется угол между их положительными направлениями, заключенный в пределах от 0 до 180°; если начала векторов не совпадают, то для измерения угла между ними следует, не изменяя направлений, перенести их так, чтобы начала совпали.