Придадим уравнению количества движения иную форму. Для этого воспользуемся известной формулой векторного анализа
положив в ней . Следовательно, справедливо равенство
Таким образом, уравнение количества движения приобретет вид уравнения Громеки – Лэмба
(2.79)
Как мы убедимся в дальнейшем, эта форма уравнения чрезвычайно удобна для анализа течения идеальной жидкости.
Рассмотрим сначала случай стационарного течения, т. е. положим , и умножим (2.48) скалярно на вектор . Тогда получим
(2.80)
Так как массовые силы имеют потенциал П, то
(2.81)
Кроме того, пусть существует функция давления
(2.82)
Течения, в которых плотность зависит только от давления, называются баротропными. Градиент функции , равный
может рассматриваться как вектор объемного действия поверхностных сил, а сама функция как потенциал объемного действия поверхностных сил.
Таким образом, (2.80) дает
Сумму, стоящую в скобках, называют трехчленом Бернулли и обозначают как В: .
Итак, , где означает производную, взятую вдоль линии тока. Отсюда следует, что B=const или
|
|
(2.83)
Напомним, что это соотношение справедливо вдоль линии тока. При переходе от одной линии тока к другой константа, в принципе, может изменяться. Равенство (2.83) будет справедливо по всей области течения, если , что возможно при или при .
Равенство (2.83) носит название интеграла Бернулли. Соотношение (2.83) часто называют также теоремой (уравнением) Бернулли.
В гидромеханике (и особенно в гидравлике) наиболее распространенным является случай интеграла Бернулли для несжимаемой жидкости. Положим ρ=const. Тогда . Будем считать, что жидкость находится только под действием сил тяжести, т. е. , где y – ось, направленная вертикально вверх. Таким образом, теорема Бернулли принимает следующую форму:
(2.84)
Если поделить все члены на ускорение силы тяжести g и обозначить константу через Н*, то можно записать
, (2.85)
где – удельный вес; Н* – гидравлическая высота,
и дать теореме Бернулли классическую формулировку:
при стационарном движении тяжелой идеальной несжимаемой жидкости гидравлическая высота Н*, равная сумме скоростной , пьезометрической и нивелирной у высот, сохраняет постоянное значение вдоль любой линии тока (или вихревой линии).
В пренебрежении силами тяжести теореме Бернулли можно придать более простой вид:
(2.86)
Первый член левой части называют пьезометрическим напором или статическим давлением, второй – скоростным напором или динамическим давлением. Правая часть представляет собой полный напор или давление торможения.
Рассмотрим теперь адиабатическое течение воды в рамках невесомой идеальной жидкости. В соответствии с уравнением Тэйта будем иметь
|
|
Таким образом, теорема Бернулли для сжимаемой воды будет выглядеть так:
(2.87)
Предположим, что параметры жидкость приобретает в точке, где скорость обращается в нуль. Если в действительности такая точка отсутствует, то можно представить себе воображаемое движение идеальной сжимаемой жидкости, адиабатически её затормаживающее. Величины и в этом случае называются соответственно давлением и плотностью торможения. При сделанном предположении уравнение (2.87) примет вид
(2.88)