2014-02-02
1151
Рассмотрим предельную полезность по доходу и предельную полезность по цене продукта для случая приобретения потребителем двух товаров. Выводы естественным образом переносятся на случай любого числа товаров 
.
Значения 
- представляют собой решение задачи потребления - оптимального положения рационального потребителя в экономике. Покажем, что предельная полезность по доходу
(1.15)
равна множителю Лагранжа 
. Для 
выполняются необходимые условия оптимальности
(1.16)
Равенство 
является тождеством по переменным 
Продифференцируем его по доходу, получим 
Так как 
то 
, что и требовалось доказать.
Вывод (1.15,2.3) позволяет оценить максимальное значение общей полезности 
при условии 
При относительно малом изменении дохода 
множитель Лагранжа мал так, что для заметного увеличения полезности приобретаемого набора необходимо значительно увеличить расход потребителя, что следует из 
.
Косвенная функция полезности по определению есть максимум функции общей полезности при наличии бюджетного ограничения, есть функция цен и дохода потребителя.
Изменение значения косвенной функции полезности, вызванное изменением цены одного из товаров, является произведение 
т.е.
(1.17)
Решение задачи Лагранжа получено из необходимых условий максимума функции полезности. Продифференцируем тождество 
по переменным ценам товаров. Получим
(1.18)
Тогда 
Значение 
определено из условия (1.18). Аналогично можно показать, что
.
Условия (1.16) позволяют оценить новый 
функции полезности, который имеет место при относительно малом изменении цены:
Таким образом, для любого числа товаров предельная полезность косвенной функции полезности по доходу и по ценам равна:
, 
,…,
.
