Теоремы о существовании наибольшего и наименьшего элементов в подмножестве множества целых чисел.
Теорема 13. Любое непустое ограниченное снизу подмножество множества целых чисел имеет наименьший элемент.
Пусть В ограничено снизу элементом т.е.
.. Рассмотрим множество
.
, т.к.
.
. Такой элемент
обязательно найдется, т.к. в противном случае
. Покажем, что
наименьший в
.
. Предположим, что
. Тогда
. Последнее противоречит условию
, следовательно, предположение неверно. Тогда
такой, что
. Таким образом,
- наименьший в
.
что и требовалось доказать.
Теорема 14. Любое непустое ограниченное сверху подмножество множества целых чисел имеет наибольший элемент.