Задача о работе силы
Линейный интеграл и циркуляция векторного поля
.
Вычислим работу вдоль всей линии :
.
Это равенство будет тем точнее, чем меньше длины векторов . Максимальную из этих длин обозначим и, переходя к пределу при , определим точное значение работы
.
Этот предел обозначают и называют линейным интегралом поля по дуге или криволинейным интегралом второго рода.
Отвлекаясь от физического содержания рассмотренной задачи, аналогичным образом вводят понятие линейного интеграла произвольного поля (риc. 4):
,
где ─ точки разбиения дуги , .
Отметим три свойства линейного интеграла:
1) (свойство линейности),
2) (свойство аддитивности),
3) ,
т. е. при изменении направления обхода кривой линейный интеграл меняет знак, т. к. векторы меняют свое направление на противоположное.
Выразив скалярное произведение векторов и через их координаты, получим
Выражение в скобки не заключают, хотя знак интеграла относится ко всему этому выражению. В формуле функции есть функции точки или ее координат . Интеграл называют векторной формой, а интеграл ─ координатной формой записи линейного интеграла.
В тех случаях, когда линейный интеграл поля берется по замкнутой кривой , он называется циркуляцией поля по кривой и обозначается так:
Приняты и другие обозначения циркуляции:
15. Лекционное занятие. ВЫЧИСЛЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРАЛА
Правило вычисления линейных интегралов в следующих двух случаях.
1). Для вычисления интеграла по линии , заданной уравнениями , следует:
а) записать интеграл в координатной форме
б) заменить в функциях соответственно на ,
в) заменить соответственно на ,
г) найти интервал изменения параметра и вычислить получившийся определенный интеграл по этому интервалу.
2). Для вычисления интеграла по плоской линии с уравнением следует:
а) записать интеграл в координатной форме ,
б) заменить в функциях на ,
в) заменить на ,
г) вычислить получившийся определенный интеграл по отрезку .
3). В случае центрального поля следует учесть, что ; дифференцируя это равенство, получим и
т.е. линейный интеграл поля сведен к определенному интегралу.
Пример 1. Вычислить работу силы по прямолинейному перемещению из точки в точку .
Решение. Работа силы вычисляется по формуле
.
Для вычисления этого интеграла составим уравнение прямой :
.
Отсюда
Найдем значение параметра , соответствующее точке . Для этого подставим абсциссу точки в формулу . Получим . Аналогично найдем . Заменяя в интеграле их выражениями, получим
.
Пример 2. Найти циркуляцию поля вдоль линии , где ─ дуга параболы , ─ ломаная (рис. 1).
Решение. Циркуляцию поля вычислим по формуле
.
На отрезке имеем . Поэтому
На отрезке имеем . Поэтому
.
На дуге имеем . Поэтому
.
Окончательно, .
Пример 3. Вычислить циркуляцию поля по окружности радиусом с центром в начале координат, ориентированной против часовой стрелки.
Решение. Циркуляция поля вычисляется по формуле
.
|