Вопрос 2 Степенные средние величины

Средними величинами в статистике называют такие показатели, которые выражают типичные черты и дают обобщенную количественную характеристику уровня варьирующего признака по совокупности однородных общественных явлений.

Вопрос 1. Понятие средних величин, их значение и условия применения

Тема 4. Средние величины и показатели вариации

1. Понятие средних величин, их значение и условия применения.

2. Степенные средние величины.

3. Структурные средние величины.

4. Показатели вариации.

В процессе изучения массовых общественных явлений возникает необходимость выявления общих свойств данной совокупности, типичных для нее, в том числе и типичных размеров уровня того или иного признака.

Метод средних величин представляет особую форму статистического обобщения. Применение метода средних величин возможно только при наличии вариации размеров уровня какого-либо признака у совокупности однородных явлений.

Вариация признака в совокупности – это колебания его величины у отдельных единиц совокупности (например: у отдельных людей разный рост, разный объем прибыли у отдельных предприятий и т.д.).

Средняя величина правильно характеризует однородные по своему содержанию совокупности. Такая средняя будет типичной, так как она отражает то общее, что характерно для данной совокупности общественных явлений.

Если же совокупность в целом по составу неоднородна, то для получения типичных средних необходимо с помощью метода группировок расчленить такую совокупность на однородные группы и после этого исчислить средние величины для каждой группы отдельно. Например, при определении среднего уровня дохода населения нельзя ограничиваться вычислением показателя, характеризующего доход всего населения РФ.

Выделяют два вида средних величин:

1. степенные средние (средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя квадратическая и др.);

2. структурные средние (мода и медиана).

Средняя арифметическая рассчитывается двумя способами:

1. Как средняя арифметическая простая ; где n – число единиц совокупности, x – величина признака у каждой единицы совокупности.

Пример: объем деталей, вытачиваемых рабочими бригады за смену составляет: 12,5; 13,0; 13,5; 14,5; 15,0; 15,5; 16,0; 16,5; 17,0; 17,5 штук.

2. Как средняя арифметическая взвешенная ; где f – частота, число единиц в каждой группе.

Пример:

Таблица Объем деталей, вытачиваемых рабочими цеха за смену

Объем вытачиваемых деталей, шт.	Число рабочих
12-13
13-14
14-15
15-16
16-17
17-18

Средняя гармоническая – величина обратная средней арифметической.

Средняя гармоническая рассчитывается двумя способами:

1. Средняя гармоническая простая

2. Средняя гармоническая взвешенная

Пример: Таблица – Фонд заработной платы и средняя заработная плата на предприятии

	1 квартал	2 квартал
Средняя заработная плата, тыс. руб.	Число человек	Фонд заработной платы, тыс. руб.	Средняя заработная плата
1 цех
2 цех

Требуется определить среднюю заработную плату рабочих двух цехов в 1 квартале и во 2 квартале.

1 квартал:

2 квартал:

Вопрос 3. Структурные средние величины (мода и медиана)

Медиана - это величина варьирующего признака, делящая совокупность на две равные части. Использовать медиану можно только в ранжированном вариационном ряду.

Ранжированный ряд - это перечень отдельных единиц совокупности в порядке возрастания (убывания) изучаемого признака.

Пример: имеются следующие данные о численности персонала на предприятиях отрасли

Порядковый номер предприятия	Численность персонала, тыс. чел.
	1,78
	2,05
	2,99
	3,57
	3,60
	3,69
	3,79
	4,00
	4,10

Медианой численности персонала в данном случае является 3,6 тыс. чел.

Если ряд содержит четное число уровней, медиана рассчитывается как среднее значение двух значений признака, находящихся в середине ряда.

Для интервального ряда распределения медиана рассчитывается по формуле:

, где x – начальное значение медианного интервала;

S_me-1 – сумма накопленных частот в интервале, предшествующем медианному;

f_me – частота медианного интервала.

Медиану содержит интервал (медианный интервал), в котором сумма накопленных частот превысит половину всех частот.

Пример: Таблица - Возраст покупателей торговой сети

Возраст, лет	Число покупателей	Сумма накопленных частот S
19-25
25-31		20+34=54
31-37		20+34+28=82
37-43
43 и старше
Итого:

Мода - это величина признака, которая чаще всего встречается в данной совокупности. В вариационном ряде мода - это варианта, которая обладает наибольшей частотой.

Пример: при обследовании семей работников одного из подразделений фирмы установлены следующие данные по количеству членов их семей:

Определить моду количества членов семей в обследованной группе работников.

Группы семей по количеству членов, чел.	Количество семей в группе

Мода числа членов в семье составляет: Мо=4

Для интервального ряда распределения мода рассчитывается следующим образом:

Для интервального ряда мода рассчитывается по формуле:

,

где X_Mo – начальное значение модального интервала;

i – длинна модального интервала;

f_Mo– частота модального интервала;

f_Mo-1 – честота интервала, предшествующего модальному;

f_Mo+1 – частота интервала, следующего за модальным.

Пример: Таблица - Возраст покупателей торговой сети

Возраст, лет	Число покупателей
19-25
25-31
31-37
37-43
43 и старше
Итого:

Необходимо определить моду возраста покупателей торговой сети:

Определим интервал, в котором содержится мода – это интервал с наибольшей частотой. Подставим значения в формулу: