Теорема Арцела

Для того, чтобы доказать сформулированную в § 3 теорему о существовании решения задачи Коши, сначала необходимо рассмотреть доказательство теоремы Арцела. Предварительно введём несколько определений.

Определение 1. Семейство функций называется равномерно ограниченным на отрезке , если существует число такое что для любой функциииз этого семейства и любого из отрезка выполняется

В качестве примера рассмотрим семейство где – параметр семейства. Так как для любого числа будет , то указанное семейство функций будет равномерно ограничено на всей вещественной оси. Напротив, семейство функций не будет равномерно ограниченным ни на каком отрезке, т. к. для любого числа найдётся число и значение такое что будет .

Определение 2. Функции семейства называются равностепенно непрерывными на отрезке , если для всякого существует , такое что для любой функции из семейства и любых двух точек и из отрезка , для которых выполняется: , будет выполняться неравенство .

Для примера возьмём семейство функций . Тогда можно заметить что для любых двух точек и выполняется следующая оценка: . В этом случае и не зависит от параметра семейства. С другой стороны, для семейства получится

. Величина будет зависеть от параметра семейства, следовательно, семейство не будет равностепенно непрерывным.

Определение 3. Последовательность функций называется равномерно сходящейся на отрезке к предельной функции если для любогонайдётся номер , такой что для всех номеров и для любого из отрезкавыполняется: .

Известно, что если последовательность непрерывных функций равномерно сходится на некотором отрезке, то предельная функция этой последовательности будет также непрерывна на этом отрезке. Если же последовательность непрерывных функций сходится, но не является равномерно сходящейся, то предельная функция может оказаться разрывной. Так, все функции последовательности непрерывны на отрезке [0;1], но эта последовательность не является равномерно сходящейся на этом отрезке, и предельная функция оказывается разрывной:

.