Частотная характеристика аналогового фильтра-прототипа определяется расположением в s -плоскости нулей и полюсов его передаточной функции. Это достаточно очевидное обстоятельство положено в основу рассматриваемого в этом параграфе метода согласованного z -преобразования, суть которого состоит в том, что в соответствии с базовым соотношением (6.2)
z = exp(sT)
нули и полюсы передаточной функции аналога-прототипа из s -плоскости переносятся в z -плоскость. При этом считается, что такой согласованный пересчет нулей и полюсов при переводе аналога-прототипа в цифровую область является своего рода гарантией сохранения его избирательных свойств.
Представим передаточные функции аналога-прототипа H (s)и рассчитываемого БИХ-фильтра H (z) в виде:
(6.14)
(6.15)
где s 0 i и s П i – известные нули и полюсы передаточной функции аналога-прототипа.
|
|
Нули z 0 i и полюсы z П i в (6.15) определяются в соответствии с (6.2):
, (6.16)
и выражение (6.15) для передаточной функции рассчитываемого БИХ-фильтра с учетом (6.16) принимает вид
(6.17)
Сопоставляя (6.14) и (6.17), устанавливаем, что метод согласованного z -преобразования базируется на замене сомножителей в H (s),и эта замена производится по правилу
(6.18)
где Аi - координаты нулей (полюсов) в s -плоскости.
Замена (6.18) может быть непосредственно использована для случая действительных нулей (полюсов). Если же нули (полюсы) функции H (s)являются комплексными, то каждая пара сопряженных нулей (полюсов) в s -плоскости в соответствии с (6.16) определяет пару комплексно-сопряженных нулей (полюсов) в z -плоскости. Для получения передаточной функции H (z) реализуемого БИХ-фильтра с действительными коэффициентами необходимо провести преобразование H (z), основанное на группировке комплексно-сопряженных пар нулей (полюсов). В данном случае замена (6.18) должна быть представлена в следующей форме:
(6.19)
где
Представив в (6.19) экспоненты от комплексного аргумента в тригонометрической форме и выполнив необходимые преобразования, получим форму замены в окончательном виде
(6.20)
Обсудим следующий вопрос: обеспечивает ли метод согласованного z -преобразования точное соответствие между АЧХ БИХ-фильтра и АЧХ его аналога-прототипа?
|
|
Для нахождения ответа воспользуемся известными соотношениями, позволяющими определить АЧХ фильтров по их нуль-полюсным диаграммам (см. §3.3). Для аналогового фильтра это соотношение перепишем в виде:
(6.21)
где Nsk и Psk – расстояния соответственно от k -гонуля и k -гополюса до выбранной точки на оси частот в s -плоскости. Для цифрового фильтра формула для АЧХ аналогична по форме:
(6.22)
где Nzk и Pzk – расстояния соответственно от k -гонуля и k -гополюса до выбранной точки на окружности единичного радиуса в z -плоскости.
Очевидно, что точное соответствие функций Hs (w) и Hz (wT) может быть только в том случае, если отношение правых частей в (6.21) и (6.22) не будет зависеть от частоты w.
Рис. 6.3. Преобразование нуль-полюсной диаграммы: а)исходная диаграмма в плоскости s, б) диаграмма, пересчитанная методом согласованного z - преобразования.
На рис. 6.3,б изображена часть нуль-полюсной диаграммы с одним полюсом z П, согласованно пересчитанным из s -плоскости (рис. 6.3,а). Особенностью z -преобразования, в соответствии с базовым соотношением z = ехр(sT), является то, что прямолинейные отрезки из s -плоскости пересчитываются в z -плоскость в виде кривых. Исключение составляют бесконечно протяженные горизонтали, которые отображаются в z -плоскости радиусами, выходящими из начала координат. В частности, так происходит нелинейное преобразование отрезка PS 1 в отрезок PZ l = 1 – exp(PS 1 T). Что касается отрезка PS 2, то он отображается в z -плоскости кривой PZ 2,поскольку бесконечно протяженный луч, выходящий из начала координат в s -плоскости (направление В на рис. 6.3,а), преобразуется в спираль, ограниченную точками (0, 0) и (+1, 0). Очевидно, что отмеченные обстоятельства исключают принципиальную возможность сохранения пропорционального изменения длин отрезков, различно ориентированных в s -плоскости при их отображении в z -плоскость. Следовательно, метод согласованного z -преобразования неизбежно приводит к искажению АЧХ рассчитываемого БИХ-фильтра по сравнению с АЧХ его аналога-прототипа.
В качестве примера рассчитаем методом согласованного z -преобразования БИХ-фильтр, аналог-прототип которого задан передаточной функцией (6.13). Координаты особых точек этой передаточной функции:
(6.23)
Произведем замену сомножителей функции H (s) на сомножители функции H (z) в соответствии с формулами (6.18) и (6.20). В результате получим следующее выражение для H (z):
. (6.24)
Приняв использованные ранее значения: f 0 = 10 кГц и f Д = 50 кГц, 100 кГц и 150 кГц, рассчитаем АЧХ ЦФ с передаточной функцией (6.24). На рис. 6.4 эти графики обозначены пунктиром. Там же приведен график АЧХ аналога-прототипа (сплошная жирная линия).
Рис. 6.4. АЧХ при использовании метода согласованного z -преобразования.
Как следует из рис. 6.4, в области нижних частот сравниваемые АЧХ практически совпадают при всех выбранных значениях частот дискретизации. В области верхних частот от АЧХ аналога прототипа отклоняется только АЧХ ЦФ при частоте дискретизации 50 кГц. Это отклонение вызвано эффектом наложения.
В рассмотренном примере в качестве аналога-прототипа выбран полосовой фильтр. Практика показывает, что при использовании метода согласованного z -преобразования искажения АЧХ БИХ-фильтров других типов тоже, как правило, не слишком велики и в ряде случаев могут считаться допустимыми.
Какой-либо специальной проверки на устойчивость БИХ-фильтра, рассчитанного методом согласованного z -преобразования, не требуется, поскольку, как это следует из (6.16), полюсы передаточной функции устойчивого аналога-прототипа, расположенные в левой s -полуплоскости, пересчитываются в z -плоскости внутрь окружности единичного радиуса, что является признаком устойчивости цифрового БИХ-фильтра.
|
|