Глава 7. ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТРЫ С КОНЕЧНОЙ
ИМПУЛЬСНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ (КИХ-ФИЛЬТРЫ)
7.1. Частотные характеристики КИХ-фильтров с линейной фазой
Одним из наиболее существенных достоинств КИХ-фильтров является возможность получения абсолютно линейной (идеальной) фазочастотной характеристики. Такое свойство особенно ценно для фильтрующих устройств, предназначенных для обработки таких сигналов, в которых информативным параметром является фаза или частота.
Линейность фазочастотной характеристики (ФЧХ) КИХ-фильтра обеспечивается при выполнении единственного условия – симметрии (или антисимметрии) его дискретной импульсной характеристики (ДИХ). Это условие записывается так:
(7.1)
где N – полное число отсчетов ДИХ, включая нулевой.
КИХ-фильтры с линейной ФЧХ различаются по своим показателям в зависимости от того, является ли ДИХ симметричной или антисимметричной, а также от четности или нечетности числа отсчетов.
|
|
Рассмотрим вначале КИХ-фильтры, у которых ДИХ симметрична и имеет четное число отсчетов N.
Возможная форма ДИХ в таком варианте показана на рис. 7.1,а. Симметрия ДИХ определяется соотношением:
(7.2)
Ось симметрии – вертикальная прямая, пересекающая абсциссу в точке n = (N – 1)/2. На рис. 7.1,а это точка n = 6,5.
Рис. 7.1. Симметричная ДИХ с четным N: а)возможный вариант ДИХ; б) вид АЧХ.
Вначале найдем передаточную функцию КИХ-фильтра, как z -преобразование ее ДИХ:
(7.3)
Преобразуем (7.3) к следующему виду, разделив сумму на левые относительно оси симметрии компоненты (левая сумма) и правые компоненты:
. (7.4)
Дальнейшие преобразования полученного выражения имеют целью ввести в (7.4) одинаковые пределы суммирования в обеих суммах:
(7.5)
Учитывая свойство симметрии ДИХ (7.2), представим (7.5) так:
(7.6)
Теперь получим выражение для комплексного коэффициента передачи КИХ-фильтра, введя в (7.6) замену z = exp(j F):
(7.7)
Комплексный множитель в (7.7), заключенный в квадратные скобки, запишем в обобщенной форме:
(7.8)
где
b k = – F× k, g k = – F×(N – 1 – k). (7.9)
Тогда (7.7) перепишется в виде:
|
|
(7.10)
Представим левую часть выражения (7.8) в виде:
откуда для Mk и j k получим следующие выражения:
(7.11)
(7.12)
Заменив b k и g k в соответствии с выражением (7.9), получим:
(7.13)
(7.14)
где a = (N – 1)/2.
Выражение для комплексного коэффициента передачи рассматриваемого КИХ-фильтра в законченном виде получим подстановкой (7.13) и (7.14) в (7.10):
откуда видно разбиение на фазовый (первая экспонента в формуле) и амплитудный (выражение в фигурных скобках) члены.
Амплитудно-частотная характеристика H (Ф) и фазочастотная характеристика j(F) определяются выражениями:
(7.15)
. (7.16)
Обратим внимание, что АЧХ (7.15) является четной функцией аргумента F. При четном N множитель (a - k) = [(N –1)/2 – k ] при любом целом k всегда содержит дробную часть, равную 1/2. Это приводит к тому, что на частоте, соответствующей верхней границе интервала Найквиста Ф max = p, коэффициент передачи КИХ-фильтра равен нулю. Примерная форма АЧХ КИХ-фильтра с рассматриваемым вариантом ДИХ показана на рис. 7.1,б.
Определяемая выражением (7.16) фазочастотная характеристика является линейно-разрывной функцией. Разрывы происходят на частотах F, где функция tgaF = tg[(N – 1)F/2] обращается в бесконечность. Значения этих частот можно найти из равенства:
на основании которого получаем:
(7.17)
Рис. 7.2. ФЧХ КИХ-фильтра с симметричной ДИХ и четным N.
На рис. 7.2 приведены, построенные по выражению (7.16), графики ФЧХ для четных значений N. Как видно из графиков, ФЧХ антисимметрична относительно частоты F = p:
j(F) = - j(2p - F). (7.18)