Пусть на интервале заданы функции
![]() | (1) |
и
![]() | (2) |
. Предположим, что функция
строго монотонна на
. Тогда она имеет обратную функцию
,
которая является строго монотонной на промежутке . Рассмотрим функцию
![]() | (3) |
называемую функцией, заданной параметрически уравнением (1) и (2). При этом, отметим, параметром называют переменную функций
и
.
Теорема. Пусть функции и
определены на интервале
и дифференцируемы в точке
, причем функция
строго монотонна на
и
. Тогда функция
, заданная параметрически уравнениями (1) и (2), дифференцируема в точке
и
![]() | (4) |
Д о к а з а т е л ь с т в о. Дифференцируемость функции в точке
имеет место в силу теоремы о дифференцируемости обратной функции и теоремы о дифференцируемости сложной функции. Из тех же теорем вытекает и формула (4). Действительно, по теореме о дифференцируемости сложной функции
![]() | (5) |
а по теореме о дифференцируемости обратной функции
![]() | (6) |
Из (5) и (6) имеем (4)