Дифференцируемая в ограниченной замкнутой области функция
достигает своих наибольшего и наименьшего значений, либо в стационарной точке, лежащей внутри области
, либо на границе этой области.
Алгоритм поиска наибольшего и наименьшего значений:
Найти все критические точки функции , лежащие внутри области
.
Исследовать поведение функции на границе области
.
Вычислить значения функции во всех найденных точках и выбрать из них наибольшее и наименьшее.
Пример 7.1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области, ограниченной линиями:
.
1) находим стационарную точку, лежащую в области:
→
→
.
2) исследуем данную функцию на границе области.
a) При функция z имеет выражение:
.
Критические точки на границе находим из уравнения:
. Отсюда
.
b) При для функции z имеем выражение:
.
Критические точки на границе находим из уравнения:
. Отсюда
.
c) При для функции z имеем выражение:
.
Критические точки на границе находим из уравнения:
. Отсюда
.
вычисляем значения в критических точках , а также в точках
,
:
|
|
,
,
,
,
,
,
.
Итак, наибольшее значение: ,
; наименьшее значение:
.