Тема: «Коши, производные»
Теорема: (Коши о промежуточных значениях)
Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и на концах принимает значение разные значения.
f(a)=A f(b)=B A¹B. Тогда "С лежащею между А и В, $ х0Î(a,b): f(x0)=C. Другими словами нет точек которые не являются значением отрезка.
Доказательство: A<B, "CÎ(A,B) g(x)=f(x)-C.
Эта функция непрерывна на отрезке [a,b]
g(a)=f(a)-c=A-C<0 по теореме Коши №1Þ[1] $ x0Î(a,b):g(x0), то естьf(x0)-C=0Þ f(x0)=c
g(b)=f(b)-c=B-C>0
Замечание: Условие непрерывности нельзя отбросить
[c,d]Ì[A,B]
[c,d)ÏE(f)
Теорема: (о существование и непрерывности обратной функции) «Без доказательства»
Пусть на множестве D задана непрерывная возрастающая или убывающая функция y=f(x). Тогда на множестве её значений Е определена обратная ей функция x=g(y), которая непрерывна и возрастает или убывает на множестве Е.
Производная функции. ∆Х
Пусть y=f(x) определена в O(x0)
∆x=x-x0 – называется приращением аргумента в т х0 Х
Х° Х