Лекция №15
Формула Тейлора с остаточным членом пеано.
Свойства многочлена Тейлора.
Формулы Тейлора.
Определение: (многочлена Тейлора) Пусть функция y=f(x) – n – раз дифференцируема в точке х0 многочлен (полином) вида
Tn(х)=f(x0)+[f’(x0)(x-x0)]/1!+ [f’’(x0)(x-x0)2]/2!+ [fn(x0)(x-x0)]/n! называется многочлен Тейлора с центром в точке х0 или многочленом по степеням (х-х0)
Теорема: (основное свойство многочлена Тейлора) Пусть функция y=f(x) – n – раз дифференцируема в точке х0 f(x)=Tn(x0); f’(x0)=Tn’(x0),…,f(n)(x0)=Tn(n)(x0)
Доказательство; (подстановкой) Tn(х)=f(x0)+[f’(x0)(x-x0)]/1!+ [f’’(x0)(x-x0)2]/2!+ [fn(x0)(x-x0)]/n!, подставим х0 получим Tn(x0)=f(x0). Продифференцируем многочлен Тейлора
Tn’(x)=f’(x0)/1!+[f’’(x0)2(x-x0)]/2!+ [f’’’(x0)3(x-x0)2]/3!+ [fn(x0)n(x-x0)n-1]/n!, подставим вместо х х0
Tn(x0)=f(x0)
Tn’’(x)=f’’(x0)/1!+[f’’’(x0)3·2(x-x0)]/3!+…+ [f(n)(x0)n(n-1)(x-x0)n-2]/n!
Tn’’(x)=f’’(x0)
Теорема: Пусть функция y=f(x) – n – раз дифференцируема в точке х0, тогда в О(х0) f(x)=Tn(x)+o((x-x0)n), x®x0
f(x)= f(x0)+[f’(x0)(x-x0)]/1!+ [f’’(x0)(x-x0)2]/2!+ [fn(x0)(x-x0)n]/n!+0((x-x0)n)(x-x0)1
lim[f(x)-Tn(x)]/(x-x0)n=(0/0)=lim [f’(x)-Tn’(x)]/n(x-x0)n-1=(0/0)=….=lim [f(n)(x)-Tn(n)(x)]/n!=0 Þ функция
|
|
x®x° x®x° x®x°
[f(x)-Tn(x)]/(x-x0)n=a(х-х0)ii Þ f(x)-Tn(x)=(x-x0)na(x-x0)=0((x-x0)n) при х®х0 что и требовалось доказать.
Замечание: в случае если х0=0 формула Тейлора называется Маклорена f(x)=f(0)+[f’(0)x]/1!+ [f’’(0)x2]/2!+ [fn(0)xn]/n!+0xn при х®0
1)y=ex, x0=0
y(0)=1
y’(0)=ex|x=0=1
y’’(0)=ex|x=0=1
y(n)(0)=ex|x=0=1
n=1 ex=1+x+o(x),x®x0
2) y=sinx, x0=0
y(0)=0
y’(0)=cos|x=0=1
y’’(0)=-sinx|x=0=0
y’’’(0)=-cosx|x=0=-1
y’’’’(0)=sinx|x=0=0
если n – чётное, то y(n)(0)=0; n=2k+1 – нечётное y(n)(0)=(-1)k
3) y=cosx, x0=0
y(0)=1
y’(0)=-sinx|x=0=0 *
y’’(0)=-cosx|x=0=-1
y’’’(0)=sinx|x=0=0
y’’’’(0)=cosx|x=0=1
если n=2k – чётное, то y(n)(0)=(-1)k; n=2k+1 – нечётное y(n)(0)=0
4) y=ln(1+x), x0=0
y(0)=ln1=0
y’(0)=1/(1+x)|x=0=1
y’’(0)=1(-1)/(x+1)2|x=0=-1
y’’’(0)=(-1)(-2)/(x+1)3|x=0=(-1)(-2)
y’’’’(0)= (-1)(-2)(-3)/(x+1)4|x=0=(-1)(-2)(-3)
y(n)=[(-1)(-2)(-3)…(-n+1)]/(1+x)n|x=0=(-1)n-11·2·3…(n-1)=(-1)n-1(n-1)!
5) y=(1+x)p, x0=0
y(0)=1
y’(0)=p(1+x)p-1|x=0=p
y’’(0)= p(p-1)(1+x)p-2|x=0=p(p-1)
y’’’(0)= p(p-1)(p-2)(1+x)p-3|x=0=p(p-1)(p-2)
y(n)=p(p-1)(p-2)…(p-n+1)(1+x)p-n|x=0=p(p-1)(p-2)…(p-n+1)
Если р – натуральное, то y(n)(0)=0 n³p+1
(либо n<p, если p-натуральное)