Силы и потенциальная энергия

Внутренняя энергия. Общефизический закон сохранения энергии

Макроскопическая механика учитывает только кинетическую энергию макроскопического движения тел и их макроскопических частей, а также их потенциальную энергию. Но она полностью отвлекается от внутреннего атомистического строения вещества. При ударе, трении и аналогичных процессах кинетическая энергия видимого движения тел не пропадает. Она только переходит в кинетическую энергию невидимого беспорядочного движения атомов и молекул вещества, а также в потенциальную энергию их взаимодействия. Эта часть энергии тела получила название внутренней энергии. Беспорядочное движение атомов и молекул воспринимается нашими органами чувств в виде тепла. Таково физическое объяснение кажущейся потери механической энергии при ударе, трении и пр.

Представление о теплоте как о беспорядочном движении атомов и молекул окончательно утвердилось во второй половине ХIХ века. Примерно тогда же в физике утвердился и взгляд на закон сохранения энергии как на общефизический закон, не знающий никаких исключений. Согласно этому закону энергия никогда не создается и не уничтожается, она может только переходить из одной формы в другую. Однако необходимо расширить понятие энергии, введя новые формы ее: энергию электромагнитного поля, ядерную энергию и пр. При этом необходимо заметить, что дать окончательную классификацию различных видов энергии не представляется возможным. Это можно было бы сделать, если бы окончательно были установлены все законы природы, и развитие науки, во всяком случае в ее основах, было бы окончательно завершено.

Деление энергии на кинетическую и потенциальную имеет смысл только в механике и не охватывает всех форм энергии. Кроме того, отнесение энергии к тому или иному виду часто зависит от точки зрения. Например, в макроскопической механике упругая энергия сжатого идеального газа считается потенциальной. Но с молекулярной точки зрения упругость газа объясняется тепловым движением его молекул. Поэтому с этой точки зрения ту же энергию следует считать кинетической.

Общефизический принцип сохранения энергии охватывает, таким образом, не только явления, рассматриваемые в макроскопической механике, но и такие физические явления, к которым законы такой механики не применимы. Поэтому он не может быть выведен из уравнений макроскопической механики, а должен рассматриваться как одно из наиболее широких обобщений опытных фактов.

Взаимодействие тел можно описывать либо с помощью сил, либо с помощью потенциальной энергии как функции координат взаимодействующих частиц. В макроскопической механике применимы оба способа. Первый способ обладает несколько большей общностью, так как он применим и к таким силам (например, силам трения), для которых нельзя ввести потенциальную энергию. Второй же способ применим только в случае консервативных сил.

Зная действующие силы как функции координат материальных точек системы, можно вычислить ее потенциальную энергию. Эта задача решается интегрированием. Можно поставить и обратную задачу: вычислить действующие силы по заданной потенциальной энергии как функции координат взаимодействующих материальных точек. Эта задача решается с помощью более простой математической операции – дифференцирования.

Рассмотрим сначала отдельную материальную точку, находящуюся в силовом поле каких-то неподвижных тел. Если силы консервативные, то можно ввести потенциальную энергию U, которой обладает материальная точка в рассматриваемом силовом поле. Величина U будет функцией радиуса – вектора r этой точки или ее координат х, у, z. Пусть точка претерпела произвольное бесконечно малое перемещение d r. Если F – сила, действующая на нее, то работа этой силы при таком перемещении будет равна убыли потенциальной энергии:

F d r = - dU (3.26)

или это уравнение перепишем:

. (3.27)

Допустим, что перемещение происходит вдоль какой-либо одной координатной оси, например оси Х. Тогда

и, следовательно,

. (3.28)

Индексы у, z означают, что при смещении, а следовательно, и при дифференцировании координаты у и z должны оставаться постоянными. Иными словами, U (x, у, z) при дифференцировании должна рассматриваться как функция одного аргумента х; остальные два аргумента, у и z, являются параметрами, которые при дифференцировании по х должны оставаться постоянными. Величины, получающиеся в результате такого дифференцирования, называются частными производными функции U. Они обозначаются символом ¶, в отличие от символа d, применяемого при дифференцировании функций одного независимого переменного. Аналогичные соображения справедливы и для проекций силы вдоль остальных двух осей Y и Z. Таким образом

(3.29)

Если функция U(x, у, z) известна, то нахождение составляющих F_х, F_у, F_z cводится к вычислению ее частных производных по координатам. Разумеется, формулы (3.29) относятся только к случаю консервативных сил.

Пример

Измеряя потенциальную энергию растянутой спиральной пружины, нашли, что она определяется выражением U = ½ kx ², где х – удлинение пружины, а k – постоянная. Направим ось Х вдоль оси пружины, закрепив один конец ее, а другой будем удерживать рукой. Тогда U будет функцией только одной координаты х. Растянутая пружина действует на руку с силой

Знак минус указывает, что сила F направлена в сторону, противоположную смещению, т. е. является силой притяжения.

Три формулы (3.29) можно объединить в одну векторную формулу. С этой целью умножим эти формулы на единичные векторы координатных осей i, j, k и сложим. В результате получим

F = - grad U, (3.30)

где символом grad U обозначена сумма

. (3.31)

Она, согласно соотношению (3.31), является вектором. Вектор, определяемый соотношением (3.31), называется градиентом скалярной функции U. Для него, наряду с обозначением grad U, применяется также Ñ U. Здесь Ñ («набла») означает символический вектор или оператор

,

называемый оператором Гамильтона или набла-оператором.

Контрольные вопросы

1. Какова связь между кинетической энергией материальной точки и работой приложенных к точке сил?

2. Как связана потенциальная энергия материальной точки с работой консервативных сил?

3. Работа силы, действующей на материальную точку, на любом пути равна нулю. Что можно сказать о взаимном направлении силы и скорости материальной точки?

4. Сила, действующая на материальную точку, изменяется по закону , а скорость точки — по закону . Чему равна мощность в момент t?

5. Выведите выражение для потенциальной энергии материальной точки в поле центральных сил.

Задачи

1. Внутри жидкости перемещается тело. Являются ли консервативными: а) сила Архимеда; б) сила вязкости?

2. Материальная точка движется равномерно по криволинейной траектории. Отличны ли от нуля: а) сила; б) работа?

3. Шарик катается по круговому вертикальному желобу. Отличны ли от нуля при одном обороте шарика по круговой траектории: а) работа силы нормальной реакции; б) работа силы тяжести; в) работа силы трения?

4. Тело соскальзывает без начальной скорости по наклонной плоскости. Сравнить работы силы трения при движении тела с вершины наклонной плоскости до ее основания в I и II случаях в каждой из ситуаций, изображенных на рисунках а и б. Коэффициенты трения в случаях I и II одинаковы.

а) б)

5. Тело медленно втаскивают в гору. Зависят ли от формы профиля горы:

а) работа силы тяжести; б) работа силы трения? Начальная и конечная точки фиксированы.

6. Тело соскальзывает без начальной скорости с вершины наклонной плоскости. Зависит ли работа силы трения на всем пути движения тела до остановки: а) от угла наклона плоскости б) от коэффициента трения?

7. На тело действует сила, изменяющаяся по гармоническому закону. При t = 0, u = 0. Среди отмеченных на графике точек указать точку, соответствующую максимальной кинетической энергии тела.

8. Пусть m – масса механической системы; – скорость ее центра масс. Верны ли в общем случае соотношения: а) импульс системы ; б) результирующая сила, действующая на систему, ; в) кинетическая энергия системы

9. Горизонтально летящая пуля пробивает брусок, лежащий на гладкой горизонтальной плоскости. Сохраняются ли в системе «пуля – брусок»: а) импульс; б) механическая энергия?

10. Снаряд, летящий по параболе, в высшей точке разорвался на два осколка. Возможно ли, чтобы импульсы обоих осколков в момент разрыва были равны по модулю и противоположно направлены: а) вертикально; б) горизонтально?

11. В шар массой М, висящий на нити длиной l, попадает горизонтально летящая пуля массой m << M. Шар после толчка поднимается на высоту H (H < l). Сравнить высоты подъема шара, если: а) пуля застревает в шаре; б) пуля после удара падает вниз, потеряв скорость.

12. По рельсам катится тележка. Человек: а) прыгает с места на тележку перпендикулярно рельсам; б) прыгает с тележки перпендикулярно ее борту. Как изменяется скорость тележки в обоих случаях. Трение пренебрежительно мало.

13. Две заряженные частицы массами m ₁ и m ₂ (m ₁ > m ₂) начинают притягиваться друг к другу из состояния покоя. Как движется их центр масс?

1) ®; 2) ¬; 3) покоится.