П.1. Производные высших порядков.
Геометрический смысл первого дифференциала
Пусть дана дифференцируемая функция n переменных u(. Пусть также вычислена производная первого порядка по переменной , непрерывна в точке .
Пусть . Тогда .
Рассмотрим выражение, аналогичное предложенному выше:
,
где
.
Аналогично получаем, что при выполнено .
Следовательно,
.
▲
Справедлива следующая общая теорема.
Теорема (без доказательства).
Пусть функция определена в области . Пусть существуют и непрерывны все частные производные до k -го порядка включительно в области. Тогда смешанные производные до -го порядка не зависят от порядка дифференцирования.
Пример. Рассмотрим функцию двух переменных, у которой смешанные производные второго порядка существуют, но не равны в точке (0,0):
Имеем:
Видим, что