1. Функции комплексной переменной определяются как суммы следующих рядов, сходящихся во всей плоскости комплексного переменного:
(1.4)
(1.5)(1.6) (1.7)
(1.8)
Из определения функций (10.4)-(10.8) следуют формулы, связывающие их:
(1.9)
(1.10)
(1.11)
(1.12)
(1.13)
(1.14)
(1.15)
(1.16)
Элементарные функции (1.4) – (1.8) являются однозначными и непрерывными на всей комплексной области Z.
2. Показательная функция совпадает с обычной функцией для нее справедлива теорема сложения
Функция периодическая с чисто мнимым основным периодом
Тригонометрические функции для действительных совпадает с обычным синусом и косинусом, периодичны с действительным периодом - нечетная, - четная функция; подчиняются обычным тригонометрическим соотношениям:
и т.п.
Функция называется гиперболическим синусом; функция называется гиперболическим конусом. Гиперболические функции выражаются через тригонометрические функции формулами (1.15,1.16).
С помощью функций (1.4) - (1.8) вводятся другие элементарные функции. 3 Логарифмическая функция определяется как функция, обратная показательной:
|
|
если:
Для нее справедливо свойство логарифмов:
В частности, полагая , получаем
(1.17)
В формуле (1.17) символ может обозначать любое значение аргумента, поэтому каждое комплексное число имеет бесчисленное множество логарифмов.
Выражение называется главным значением логарифмической функции и обозначается, как Многозначная логарифмическая функция обозначается
(1.18)
4. Общая показательная функция:
(1.19)
Эта функция представляет собой совокупность отдельных, не связанных между собой однозначных функции, отличающихся множителями где k- целое число. Главное значение этой многозначной функции равно
где - произвольное комплексное число.
Полагая, , получаем
(1.20)
где - произвольное комплексное число.
Полагая , получаем
(1.21)
где k – целое число. При функция всегда имеет бесконечно много значений.
Если , то получаем многозначную функцию - корень n-й степени
При имеем частный случай однозначной степенной функции
К основным элементарным функциям комплексной переменной относится также дробно-рациональная функция и её частные случаи.
Дробно-рациональная функция:
(1.22)
Частные случаи этой функции:
а)линейная функция - комплексные числа
б)степенная функция
в)дробно-линейная функция