Непрерывно – стохастические модели (Q – схемы)

Для непрерывно-стохастических моделей характерно: непрерывное изменение времени и присутствие случайных событий.

Для описания таких моделей, используются понятия систем массового обслуживания (queueing systems).

Системы массового обслуживания ‑ класс математических схем, разработанных в теории массового обслуживания для формализации процессов функционирования систем, которые по своей сути являются процессами обслуживания.

В качестве же процесса обслуживания могут быть представлены различные по своей физической природе процессы функционирования экономических, производственных, технических и других систем.

Под СМО понимают динамическую систему, функционирование которой связано с рядом повторяющихся событий, которые могут происходить в случайные моменты времени

· поступление заявки для обслуживания

· начало обслуживания заявки

· завершение обслуживания заявки

· прерывание обслуживания

· …

Обобщённая структура СМО

Собственными (внутренними) параметрами Q-схемы будут являться кол-во фаз L_Ф, количество каналов в каждой фазе, L_kj, j=1… L_Ф, количество накопителей каждой фазы L_kj, k=1… L_Ф, ёмкость i-ого накопителя L_i^H. Следует отметить, что в теории массового обслуживания в зависимости от ёмкости накопителя применяют следующую терминологию:

- системы с потерями (L_i^H=0, накопитель отсутствует);

- системы с ожиданием (L_i^H®¥);

системы с ограниченной ёмкостью накопителя Н_i (смешанные).

В зависимости от динамики приоритетов Q-схемы различают статические и динамические. Статические приоритеты назначаются заранее и не зависят от состояний Q-схемы, т.е. они являются фиксированными в пределах решения конкретной задачи моделирования. Динамические приоритеты возникают при моделировании.

Исходя из правил выбора заявок из накопителя Н_i на обслуживание каналом k_i можно выделить относительные и абсолютные приоритеты.

Относительный приоритет означает, что заявка с более высоким приоритетом, поступившая в накопитель Н, ожидает окончания обслуживания заявки каналом k_i и только после этого занимает канал.

Абсолютный приоритет означает, что заявка с более высоким приоритетом, поступившая в накопитель, прерывает обслуживание каналом k_i заявки с более низким приоритетом и сами занимает канал (при этом вытесненная из k_i заявка может либо покинуть систему, либо может быть снова записана на какое-то место в Н_i).

Необходимо также знать набор правил, по которым заявки покидают Н_i и k_i: для Н_i – либо правила переполнения, либо правила ухода, связанные с истечением времени ожидания заявки в Н_i­; для k_i – правила выбора маршрутов или направлений ухода. Кроме того, для заявок необходимо задать правила, по которым они остаются в канале k_i, т.е. правила блокировок канала. При этом различают блокировки k_i по выходу и по входу. Такие блокировки отражают наличие управляющих связей в Q‑схеме, регулирующих поток заявок в зависимости от состояний Q‑схемы. Набор возможных алгоритмов поведения заявок в Q‑схеме можно представить в виде некоторого оператора алгоритмов поведения заявок А.

Т.о. Q‑схема, описывающая процесс функционирования СМО любой сложности однозначно задаётся в виде набора множеств: Q = <W, U, H, Z, R, A>.

Q - схемы можно исследовать аналитически и имитационными методами.

В любом элементарном акте обслуживания можно выделить две основные составляющие:

· ожидание обслуживания заявкой

· и собственно обслуживание заявки.

Это можно отобразить в виде некоторого прибора обслуживания П, состоящего из накопителя заявок, в котором может находится одновременно l=0…L_i^H заявок, где L_i^H - ёмкость i-ого накопителя, и канала обслуживания заявок, K_i.

- На каждый элемент прибора обслуживания П_i поступают потоки событий:

· в накопитель H_i поток заявок w_i

· на канал k_i - поток обслуживания u_i.

Потоком событий (ПС) называется последовательность событий, происходящих одно за другим в какие-то случайные моменты времени.

Однородный ПС характеризуется только моментами поступления этих событий (вызывающими моментами) и задаётся последовательностью {t_n}={0£t₁£t₂…£t_n£…}, где t_n - момент поступления n- ого события - неотрицательное вещественное число. ОПС может быть также задан в виде последовательности промежутков времени между n-ым и n-1-ым событиями {t_n}.

Неоднородным ПС называется последовательность {t_n, f_n}, где t_n- вызывающие моменты; f_n- набор признаков события. Например, может быть задана принадлежность к тому или иному источнику заявок, наличие приоритета, возможность обслуживания тем или иным типом канала и т.п.

Интенсивность потока событий () – это среднее число событий, приходящееся на единицу времени.

Поток событий называется стационарным, если его вероятностные характеристики не зависят от времени.

Интенсивность стационарного потока постоянна.

Поток событий называется потоком без последствий, если для любых двух непересекающихся участков времени и число событий, попадающих на один из них, не зависит от того, сколько событий попало на другой.

Поток событий называется ординарным, если события в нем появляются поодиночке, а не группами по нескольку сразу.

Поток событий называется простейшим (или стационарным пуассоновским), если он обладает сразу тремя свойствами:

1) стационарен,

2) ординарен,

3) не имеет последствий.

Марковский случайный процесс

Случайный процесс, протекающий в системе, называется Марковским, если для любого момента времени t ₀ вероятностные характеристики процесса в будущем зависят только от его состояния в данный момент t ₀ и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние.

Андрей Андреевич Марков (1856-1922)