Теорема. Если и
непрерывны на
и дифференцируемы во всех его внутренних точках, причем
(нигде), то внутри этого отрезка найдется точка
, для которой:
, где
, т.к. тогда по теореме Роля
, что противоречит условию теоремы.
Доказательство.
Введем вспомогательную функцию, подобную той, что в теореме Лагранжа. Обозначим .
Пусть .
Эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы Роля: непрерывность и дифференцируемость следует из непрерывности и дифференцируемости и
. Равенство значений на концах отрезка проверяется:
,
по теореме Ролля в интервале $ точка
, что
.
При теорема Коши = теореме Лагранжа.
Но теорему Коши нельзя доказать применением теоремы Лагранжа к числителю и знаменателю, т.к. промежуточная точка в числителе и знаменателе не обязательно совпадут.