Интегральными уравнениями называют уравнения, в которых неизвестная функция входит под знак интеграла.
Основные классы линейных интегральных уравнений:
(1)
(1) – общий вид, неизвестная функция входит линейно.
1) ,
– интегральное уравнение первого рода.
2) ,
– интегральное уравнение второго рода.
3) функция, интегральное уравнение (1) третьего рода.
Функция ,
называется ядром интегрального уравнения.
Если , то интегральное уравнение называется однородным.
Ядро и функция
– непрерывны, первая на
, вторая на
.
Уравнение (2) называется уравнением Фредгольма 2-ого рода, причём это семейство уравнений, зависящих от числового параметра
.
Уравнением Фредгольма 1-ого рода имеет вид: (3)
Линейным интегральным уравнением Вольтера 2-ого рода называется уравнение: ,
(4)
неизвестная функция.
Уравнением Вольтера 1-ого рода называется уравнение: (5)
Уравнение Вольтера можно рассматривать частный случай уравнение Фредгольма.
Ядро определено при
.
Доопределяем по при следующим образом
,
.
|
|
Тогда уравнение (4) можно рассматривать, как частный случай уравнения Фредгольма с ядром , для
(6)
Интегральные уравнения в общем виде в квадратурах не решается.