Уравнения Максвелла в дифференциальной форме

Уравнения Максвелла в интегральной форме

Открытие тока смещения позволило Максвеллу создать единую теорию электромагнитного поля.

Теория не только объяснила все явления электричества и магнетизма с единой точки зрения, но и предсказала ряд новых явлений, например, что свет - это электромагнитные волны.

Максвеллу удалось составить систему фундаментальных уравнений электродинамики в неподвижных средах.

Рассмотрим систему уравнений Максвелла в интегральной форме.

1.. (9)

Циркуляция вектора по любому контуру L равна со знаком минус производной по времени от магнитного потока через любую поверхность, ограниченную контуром.

При этом под вектором понимается не только вихревое электрическое поле, но и электростатическое.

Уравнение (9) выражает закон электромагнитной индукции Фарадея.

Переменное магнитное поле возбуждает переменное электрическое поле.

2.. (10)

Циркуляция вектора по любому замкнутому контуру L равна полному току через произвольную поверхность, ограниченную контуром.

Вихревое электрическое поле возбуждает вихревое магнитное поле.

Уравнение (10) выражает закон полного тока.

3.. (11)

Поток вектора сквозь любую замкнутую поверхность равен алгебраической сумме сторонних зарядов, охватываемых этой поверхностью, т. е. выражает теорему Гаусса.

4.. (12)

Поток вектора сквозь произвольную замкнутую поверхность равен нулю.

Таким образом, уравнения Максвелла описывают единое электромагнитное поле.

Для стационарных полей (= const, = const) уравнения Максвелла образуют две группы независимых уравнений: для электростатического поля

; (13)

для магнитного поля

. (14)

Уравнения Максвелла можно представить в виде системы дифференциальных уравнений, т. е. (15)

Bывод: Из уравнений Максвелла следует, что источником электрического являются как сторонние, так и связанные заряды или переменное магнитное поле. Источником магнитного поля являются либо движущиеся электрические заряды (электрические токи), либо переменное электрическое поле. Решив уравнения Максвелла найдем поля и.

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме совместно с уравнением движения заряженных частиц под действием силы Лоренца

(16)

составляют фундаментальную систему уравнений электродинамики.

Для нахождения полей по заданным распределениям зарядов и токов уравнения Максвелла необходимо дополнить материалистическим уравнениями, характеризующими свойства среды.

В общем виде эти уравнения достаточно сложны. Однако в случае достаточно слабых электромагнитных полей медленно изменяющихся в пространстве и времени для изотропных сред, не содержащих сегнетоэлектриков и ферромагнетиков, материальные уравнения имеют следующий вид:

(17)

где e, m и s - постоянные, характеризующие электрические и магнитные свойства среды (e- диэлектрическая проницаемость, m - магнитная проницаемость, s - электропроводимость); ^* - напряженность поля сторонних сил.

Свойства уравнений Максвелла: