Метрика. Расстояние
Рассмотрим всевозможные упорядоченные наборы из n- вещественных чисел
x = (x 1 ,x 2,…,xn).
Пользуясь геометрической терминологией, x будем называть точкой, числа x 1 ,x 2 ,…,xn называются координатами точки. Для случаев n= 1,2,3мы имеем дело с точками на прямой, плоскости и в пространстве, соответственно. Для двух точек x = (x 1 ,x 2 ,…,xn), y = (y 1 ,y 2 ,…,yn) величина
r(x,y) =
называется расстоянием между этими точками. Фундаментальными свойствами расстояния являются следующие три свойства.
1) " x,y:r(x,y) ³ 0, r(x,y) = 0 Û x = y
2) " x,y: r(x,y) = r(y,x)
3) " x,y,z:r(x,y) £ r(x,z) + r(z,y) (неравенство треугольника)
Первые два свойства очевидны, третье свойство будет доказано позже. Множество всевозможных точек x с расстоянием r(x,y), удовлетворяющим свойствам 1)-3) называется метрическим пространством. Обозначим это пространство Rn.
.
В пространстве Rn введем операции сложения между элементами этого множества и операцию умножения на вещественные числа по правилам:
x + y =(x 1 + y 1 ,x 2 + y 2 ,…,xn+ yn), l x = (l x 1, l x 2 ,…, l xn),
где x = (x 1 ,x 2 ,…,xn), y = (y 1 ,y 2 ,…,yn).
В двухмерном и трехмерном пространстве эти операции интерпретируются, как операциями над радиус-векторами, соответствующих точек.
Рис. 4.1
1) Величина - называется скалярным произведением и обозначается (x,y). Величина называется нормой и обозначается ||x||.
В терминах нормы неравенство Коши-Буняковского можно записать в виде
| (x,y) |£||x|| ||y||.
Доказательство неравенства Коши-Буняковского.
0 £ ||x+ l y|| 2 = =||x|| 2 + 2l(x,y)+l2 ||y|| 2 =a l2 + 2l b+c.
Так как это неравенство (a l2+2l b+c ³ 0)справедливо для всех l, то для дискриминанта квадратного трехчлена a l2+2l b+c будет выполнено неравенство b 2 – ac £ 0,или (x,y)2£ ||y|| 2 ||x|| 2, откуда и следует требуемое утверждение.
Теорема. Для нормы справедливо неравенство ||x+y|| £ ||x|| + ||y||.
Доказательство.
||x+y|| 2 = £ ||x|| 2 + 2 ||x|| ||y||+ ||y|| 2 = (||x||+||y||)2.
Фундаментальные свойства нормы.
1) ||x|| ³0, ||x||= 0 Û x =q, (q= (0,0,…,0)),
2) || l x|| = | l | ||x||,
3) ||x+y||£ ||x||+||y||.
Фундаментальные свойства скалярного произведения.
1) (x,x)³0, (x,x)=0Û x =q, (q= (0,0,…,0))
2) (x,y) = (y,x)
3) (l x,y) = l(x,y)
4) (x+y,z) = (x,z) + (y,z).
Определение. Пространство Rn со скалярным произведением (x,y) называется евклидовым пространством.
Отметим, что между введенными понятиями, расстоянием, нормой и скалярным произведением имеются следующие равенства: r(x,y) =||x - y||, (x,x) =||x|| 2.
Доказательство неравенства треугольника для расстояния.
r(x,y) =||x - y||=||x – z + z - y|| £ ||x - z||+||z - y||= r(x,z)+ r(z,y).
4.1.3. Геометрическая терминология в Rn
(n – мерный) открытый шар радиуса e c центром в точке x 0 или e окрестность точки x 0:
U e(x 0)={ x Î Rn:r(x,x 0)<e }.
(n – мерный) замкнутый шар радиуса e c центром в точке x 0:
e(x 0) = { x Î Rn:r(x,x 0)£e }.
(n – мерная) сфера радиуса e c центром в точке x 0:
S e(x 0) = { x Î Rn:r(x,x 0) = e }.
В пространстве Rn (n> 1) под окрестностью ¥ понимается любое множество вида { x Î Rn:r(x,x 0)> r }, для произвольного числа r, и произвольной точки x 0.
(n – мерный) параллелепипед: B= [ a 1 ,b 1]´ [ a 2 ,b 2]´…´ [ an,bn ].
Пример. Одномерная проекция (на R 1) двухмерного параллелепипеда (квадрата) (рис. 4.2).
Рис. 4.2
Двухмерная проекция (на R 2) трехмерного параллелепипеда (куба) (рис. 4.3).
Рис. 4.3
Трехмерная проекция (на R 3) четырехмерного параллелепипеда (четырехмерного куба) (рис. 4.4, слайд «Куб 4»).
Рис. 4.4
Куб 4
В этом случае эту проекцию надо себе представлять в виде скелета из ребер в нашем трехмерном пространстве. На рисунке же изображена плоская картинка, то есть еще одна проекция этой трехмерной проекции на плоскость рисунка (двойная проекция: из R 4 в R 3, затем из R 3 в R 2.
Проколотая окрестность точки: = { x Î Rn:0 < r(x,x 0) < e }.
Внутренняя точка множества – точка, которая принадлежит множеству вместе с некоторой своей окрестностью.
Открытое множество – множество, все точки которого внутренние.
Предельная точка множества – точка, в любой окрестности которой содержится хотя бы одна точка множества, отличная от нее самой (или, что тоже, в любой окрестности этой точки содержится бесконечно много точек из данного множества).
Замкнутое множество – множество, содержащее все свои предельные точки.
Пример. Для e(x 0)множество внутренних точек совпадает с U e(x 0). e(x 0) – замкнутое множество. U e(x 0) – открытое множество.
Замыкание множества – само множество плюс все его предельные точки. Обозначается чертой сверху.
Ограниченное множество – множество, содержащееся в некотором шаре.
Пример. Ограниченная последовательность (рис. 4.5)
Рис. 4.5
Компакт – замкнутое, ограниченное множество.
Диагональ множества M – величина, определяемая равенством d (M) =.