Лекция 4. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА, НЕРАЗРЕШЕННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ
Задачи для самостоятельной работы
Найти общий интеграл уравнений.
3.1. . 3.2. .
3.3. .
Решить задачу Коши
3.4. .
3.5. .
3.6. .
Проинтегрировать уравнения с помощью интегрирующего множителя.
3.7. . 3.8. .
Решить уравнения с помощью интегрирующих множителей одного из видов:
.
3.9. , .
3.10. , .
Дифференциальное уравнение первого порядка, не разрешенное относительно производной, имеет вид:
. (4.1)
Решение этого уравнения может быть представлено как в явном виде: , так и в неявном виде: , и параметрическом виде: .
Для уравнений (4.1) так же, как и для уравнений, разрешенных относительно производной, может ставиться задача Коши и имеет место единственность ее решения. Решение уравнения (4.1) будет частным решением, если в каждой точке его сохраняется единственность решения задачи Коши. Если же в каждой точке решения нарушается единственность решения задачи Коши, то оно будет особым решением.
Кривую подозрительную на особое решение при условии, что левая часть уравнения (4.1) непрерывна по совокупности переменных и имеет частную производную по, можно найти путем исключения из системы:
|
|
. (4.2)
Эта кривая называется дискриминантной кривой уравнения (4.1) и для того, чтобы она была особым решением этого уравнения необходимо, чтобы она была его решением и в каждой ее точке нарушалась единственность решения задачи Коши.