Поверхностей. Применение сферических посредников для построения линии пересечения

Применение сферических посредников для построения линии пересечения

Сферические посредники рационально использовать в том случае, если пересекающиеся поверхности имеют общую плоскость симметрии, и каждая из них несет на себе семейство окружностей, по которым их могут пересечь концентрические или эксцентрические сферы общие для обеих поверхностей.

Для реализации на комплексном чертеже этого положения необходимо при этом, чтобы общая плоскость симметрии пересекающихся фигур была параллельна какой-либо плоскости проекций.

Из поверхностей, имеющих семейство (одно и более) окружностей, отметим поверхности вращения и эллиптические поверхности, которые наиболее часто встречаются в практике. Для построения линии пересечения таких поверхностей используют, как отмечалось ранее, концентрические или эксцентрические сферические посредники, выбор которых связан с конкретным видом заданных геометрических фигур и их взаимным расположением.

Концентрические сферические посредники можно использовать только в том случае, если пересекаются поверхности вращения, оси которых также пересекаются. Это связано с тем, что центр вспомогательных сфер должен лежать одновременно на осях обеих поверхностей, т. е. в точке их пересечения, так как только в этом случае сферы будут соосны с заданными поверхностями и пересекут их по окружностям.

На рис. 55, а показана на комплексном чертеже фронтальная проекция пересекающихся цилиндрической и конической поверхностей вращения, общая плоскость (i ∩ j) симметрии которых параллельна плоскости Π₂. Следовательно, фронтальные очерки заданных поверхностей, расположенных в этой плоскости, пересекутся. Точки их пересечения, проекции которых обозначены на чертеже буквами А₂ и В₂,являются наиболее удаленными относительно горизонтальной плоскости проекций. Расстояние от точки (О) пересечения осей до точки А (или В) в данной задаче определяет радиус максимальной сферы R_max, необходимой для решения задачи.

Рис. 55

В общем случае радиус максимальной сферы (R_max) определяют по чертежу величиной расстояния от точки пересечения осей поверхностей вращения до наиболее удаленной точки в пересечении очерков.

Сфера минимального радиуса (R_min) должна быть касательная к одной поверхности, а другую пересекать, так как любая сфера, радиус которой меньше R_min, не пересечет одну из поверхностей и поэтому не сможет служить в качестве посредника.

С помощью сферы минимального радиуса определяем точки C и D наиболее приближенные к горизонтальной плоскости проекций, для чего строим линии пересечения (окружности) этой сферы с цилиндрической и конической поверхностями. По отношению к цилиндрической поверхности окружность образуется в результате касания сферы минимального радиуса и цилиндрической поверхности.

Плоскости построенных окружностей перпендикулярны соответствующим осям заданных поверхностей и изображаются на фронтальную плоскость проекций в виде отрезков прямых вследствие того, что общая плоскость симметрии (i ∩ j) параллельна фронтальной плоскости проекций.

В итоге вспомогательная сфера минимального радиуса включает в себя две окружности, пересекающиеся между собой в двух точках C и D (см. рис. 55, а).

Для построения случайных точек следует использовать сферы, радиусы которых расположены в интервале между R_min и R_max. В качестве примера на рис 55, а построены точки 1, 2 и 3, 4.

Рассмотрим еще один пример (рис. 55, б), где пересекаются цилиндрическая поверхность вращения с осью j и поверхность эллиптического конуса, основание которого окружность, отмеченная знаком Æ. Очевидно, что сечения поверхности эллиптического конуса плоскостями, параллельными основанию, будут окружности, множеством центров которых является прямая q.

Ось цилиндра j и прямая q, пересекаясь между собой, определяют плоскость симметрии, расположенную параллельно фронтальной плоскости проекций.

Исходные условия в приведенном примере позволяют сделать вывод о возможности применения сферических посредников для построения линии пересечения заданных поверхностей.

Наиболее удаленные от горизонтальной плоскости проекций точки А и В находятся в общей плоскости симметрии пересекающихся поверхностей и, следовательно, в пересечении фронтальных очерков. Построение наиболее приближенных к Π₁ точек С и D показано на комплексном чертеже (см. рис. 55, б).

Рассмотрим последовательность построения случайных точек в данном примере:

1. Пересекаем коническую поверхность плоскостью Γ¹ по окружности радиуса r¹ с центром в точке К¹. Плоскость Γ¹ расположена в интервале между экстремальными точками А, В и С, D.

2. Из точки К¹ проводим перпендикуляр к плоскости Γ¹ до пересечения его с осью цилиндра (точка О^{1 )}. Этот перпендикуляр является множеством центров сфер, которые могут включать в себя заданную на конической поверхности окружность радиусом r¹.

3. Строим вспомогательную сферу радиусом R¹ с центром в точке О¹, включающую в себя заданную на конической поверхности окружность плоскостью Γ¹. Следовательно, эта сфера, соосная с цилиндрической поверхностью, содержит в себе окружность на конусе.

4. Определяем две окружности в пересечении вспомогательной сферы с цилиндрической поверхностью вращения. Они изображаются на плоскость Π₂ в виде прямолинейных отрезков, перпендикулярных оси цилиндра.

5. Находим точки пересечения (1, 2 и 3, 4) построенных окружностей на цилиндрической поверхности с окружностью, заданной на конусе.

Для построения других случайных точек следует повторить указанную последовательность для новой окружности на конической поверхности и так далее. При этом центры вспомогательных сфер каждый раз будут находиться в разных местах оси цилиндра. Такие сферы в этом случае называю эксцентрическими.

В заключении следует подчеркнуть, что использование сферических посредников позволяет строить линии пересечения поверхностей указанного класса используя только одну проекцию. Это важно с практической точки зрения, так как в конструкторской работе поверхности вращения чаще всего изображают одной проекцией.