Рассмотрим функционирование одноканальной системы S, в которую поступает простейший поток требований интенсивностью λ. Интенсивность потока обслуживания равна μ.
По числу заявок, находящихся в системе, обозначим состояния системы: S0,S1,S2,…,Sk ,… Sn, где Sk – состояние системы, когда в ней находится k заявок (одна обслуживается, остальные k-1 стоят в очереди). Никаких ограничений на длину очереди нет. Примерами таких систем может служить телефон-автомат, кассир в магазине, железнодорожная касса и т.д. Так как поток заявок и обслуживания ординарен, и число состояний системы бесконечно, граф состояний такой системы изображается в виде схемы гибели и размножения на рисунке номер 4:
λ λ λ λ λ
……..…..
S0 S1 S2 Sk
μ μ μ ………. μ μ ……..
Рисунок 4: Одноканальная СМО с ожиданием.
Интенсивность μ, потока обслуживаний не меняется при переходе из состояния Sk в состояние Sk-1 и обратна по величине среднему времени обслуживания заявки:
(33)
Финальные вероятности состояний такой системы существуют только в случае,если выполнено условие ρ < 1, так как в этом случае очередь не будет расти до бесконечности.
|
|
Уравнение для нахождения р0 получим аналогично тому как это было сделано для одноканальной системы с отказами:
(34)
С учетом формулы
, (35)
получим
(36)
где ρ – показатель нагрузки канала обслуживания.
Так как при ρ < 1 предельные вероятности существуют, то выражении ев скобках представляет собой сумму бесконечного числа членов убывающей геометрической прогрессии, предел которого равен:
(37)
откуда
(38)
Фрмула для вероятностей предельных состояний будут иметь вид:
, , ……., , … (39)
Предельные вероятности состояний Sk также образуют убывающуб геометрическую прогрессию, поэтому наиболее высокой будет вероятность р0, то есть вероятность простоя системы и готовности принять заявку к обслуживанию.
Формулы для расчета основных показателей эффективности работы системы.
Вероятность отказа в обслуживании заявки при условии неограниченности очереди равна нулю, так как все заявки в конце концов будут обслужены. Отсюда вероятность обслуживания (а также и относительная пропускная способность системы) равна единице:
. (40)
Абсолютная пропускная способность равна интенсивности входящего потока, так как обслуживаются все заявки:
(41)
Среднее время обслуживания каналом одной заявки:
(42)
Так как вероятность того, что в системе находится kзаявок, равна рk, среднее число заявок в системе определим как математическое ожидание числа заявок в системе (под обслуживанием и в очереди):
(43)
Подставив в формулу выражение для рk, получим:
|
|
(44)
При ρ < 1 такой ряд сходится, что можно проверить, воспользовавшись каким-либо признаком сходимости числовых рядов.
Заметим, что kρk - это производная по ρ функции ρk.
Применив правило вычисления производной суммы, поменяем местами знак суммы и знаки дифференцирования:
(45)
Но теперь под знаком суммы находится убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем, меньшим единицы. Поэтому
(46)
Среднее число заявок под обслуживанием L об найдем как математическое ожидание числа обслуживаемых заявок. Это либо 0 заявок, когда канал свободен, либо 1 заявка, когда канал занят:
(47)
Отсюда видно, что среднее число заявок под обслуживанием равно вероятности того, что канал занят:
(48)
Очевидно, среднее число заявок в очереди равно разности между числом заявок в системе и числом обслуживаемых заявок:
(49)
Среднее время пребывания заявки в системе (или в очереди) можно найти по формулам Литтла, разделив среднее число заявок в системе (в очереди) на интенсивность потока заявок:
(50)
(51)
Формулы Литтла основаны на том, что если система справляется с потоком заявок, то интенсивности входящего и выходящего потока заявок равны, то есть обслуживаются все заявки, поступающие в систему.
Одноканальную СМО с ожиданием можно рассмотреть в Mathcad.
Пример:
Железнодорожная касса обслуживает по одному человеку. Интенсивность потока пассажиров 0,45. Среднее время обслуживания одной заявки 2 минуты. Найти все предельные характеристики
эффективности функционирования одноканальной СМО с ожиданиями.
Фрагмент решения задачи в Mathcad.