При управлении качеством желательно знать не только зависимость друг от друга двух или нескольких количественных признаков, но и вид связи между ними и насколько тесна эта связь. Решение этого вопроса имеет большое значение для контроля и управления качеством объекта.
Связь между двумя количественными признаками проявляется в виде определенной тенденции, например, если один признак увеличивается, то другой увеличивается или уменьшается.
Учитывая, что при статистических связях каждому фиксированному значению одного признака соответствует распределение другого признака, можно представить эту связь в виде зависимости среднего арифметического значения одного признака, например, параметра качества Y от другого признака (признаков, факторов) х. Корреляционная связь, рассмотренная ранее в разделе 3.4, Y с х выражается в общем виде следующим уравнением:
(4.1)
Уравнение (4.1) называют модельным уравнением регрессии Y на х. Вид функции f(x) в этих уравнениях зависит от формы связи рассматриваемых признаков. Уравнение регрессии отображает форму связи и дает ответ на вопрос, является ли корреляционная связь прямолинейной или криволинейной.
|
|
На практике связь между двумя признаками в интересующей области может быть линейной или приблизительной линейной. В тех случаях, когда она нелинейная, часто путем преобразования (логарифмированием, извлечением корня и т. а.) одного из признаков можно произвести линеаризацию характера кривой. Кроме того, практически любая нелинейная зависимость может быть разделена на участки с линейной зависимостью рассматриваемых признаков. «Наилучшая» прямая, выравнивающая опытные данные, определяется методом наименьших квадратов.
Если наблюдаемые значения признаков обозначить через (x1, y1), (x2, y2), …, (xn, yn), то прямая регрессии Y на х запишется в виде
(4.2)
где - cреднее арифметическое значений y1, y2, …, yn; — среднее арифметическое значений x1, х2,.... xп; Y определяет ординаты точек вычисленной прямой в зависимости от значений признака.
Коэффициент b в уравнении (4.2) называют коэффициентом регрессии Y на х и определяют по формуле
(4.3)
Коэффициент регрессии Y на х равен тангенсу угла между прямой регрессии и осью x(tga),
Помимо (3.6) коэффициент корреляции может быть записан в следующем виде:
(4.4)
При оценке самого коэффициента корреляции учитывается число пар наблюдений n, по которым было произведено его вычисление. При небольшом числе пар величина r часто значительно отличается от его действительного значения. Поэтому нужен критерий, который установит, случайно ли отклоняется коэффициент корреляции от нуля или имеется корреляционная связь.
|
|
Для этого вычисляют
(4.5)
и оценивают полученное значение t с числом степеней свободы v=n-2. Если t £ tT (табл.[7]), то корреляция между рассматриваемыми признаками существует.
Так как число наблюдений n ограничено, то на практике возникает вопрос, насколько правомерно в дальнейших инженерных расчетах можно пользоваться полученной оценкой коэффициента корреляции.
Для ответа на него выполняют проверку статистической значимости (в дальнейшем просто значимости). Это означает выяснение, за счет чего оценка коэффициента корреляции оказалось отличной от нуля: за счет ограниченности числа наблюдений, т.е. случайных причин, либо за счет того, что это объективно имеет место.
Проверку значимости коэффициента корреляции выполняют по-разному, в зависимости от числа наблюдений пар параметров. При числе наблюдений n > 50 принимают гипотезу о нормальном распределении оценки r*, поскольку доказано, что при n > 50 эта гипотеза, как правило, работает. Затем строят доверительный интервал, симметричный относительно рассчитанной точечной оценки r*. Для коэффициента корреляции его определяют как
Ig=r*-tgsr; r*+tgsr (4.6)
где среднее квадратичное отклонение коэффициента корреляции, равное
sr (4.7)
tg — коэффициент, зависящий от доверительной вероятности g. Построив доверительный интервал, проверяют, попадает ли в этот интервал точка
r = 0. Если да, то нет оснований оценку коэффициента корреляции считать значимой, ибо отличной от нуля с вероятностью g она оказалась за счет ограниченного числа наблюдений.
На выходные параметры изделий или техпроцессов оказывают влияние большое число первичных параметров. Часть первичных параметров мы знаем, а о влиянии некоторых из них даже не догадываемся. При решении инженерных задач ограничиваются небольшим числом наиболее существенных первичных параметров. Обычно это число k £ 5-8. В связи с этим зависимость выходного параметра Y от учитываемых первичных параметров x1, …, xk оказывается вероятностной. Тогда корреляционное поле параметров х и Y может, например, принять вид, показанный на рис.3.1.
Проведем в корреляционном поле прямую или кривую линию, которая лучшим образом характеризует изменение выходного параметра Y в зависимости от первичного параметра х. Эту линию называют линией регрессии, а математическое выражение, описывающее линию — уравнением регрессии или регрессионной моделью. Когда первичный параметр не один, а несколько, то говорят об уравнении множественной регрессии.
В инженерной практике популярны регрессионные модели в виде полиномов. Особый интерес представляет полином первой степени. Его математический вид
(4.8)
где Y— выходной параметр РЭУ или ТП;
x1,…xk — первичные параметры;
n— число учитываемых первичных параметров;
a0,a1,…,ak — коэффициенты модели, определяемые по результатам экспериментов.
Модель вида (4.8) называют также уравнением множественной линейной регрессии.
К математическим моделям предъявляются два основных требования [4]:
простота получения и относительно минимальные погрешности при описании поведения устройства или процесса. Во многом этим требованиям отвечают линейные регрессионные модели вида (4.8). Для определения по данным эксперимента коэффициентов a0, a1,…ak могут быть использованы несложные расчетные формулы, а удовлетворительность описания реальных изделий и ТП обусловлена небольшим отклонением первичных параметров относительно своих средних (номинальных) значений, составляющий обычно не более 20…30%. Из рис. 1.9. видно, что замена нелинейной зависимости на участке xном ±Dx прямой линией не вызовет больших ошибок. По этой причине линейные регрессионные модели в большинстве случаев оказываются пригодными для дальнейшего инженерного анализа приборов или ТП их изготовления.
|
|
При построении математических моделей возникает вопрос, как в корреляционном поле лучшим образом провести прямую или другую линию. Для ответа на этот вопрос используется метод наименьших квадратов.