Частной производной функции по переменной
называется конечный предел
, т. е. чтобы найти частную производную
по
, надо
считать постоянной и руководствоваться обычными правилами и формулами дифференцирования.
Аналогично определяется и производная по
:
.
Пример 1. . Найти
и
.
Решение. Считаем постоянной, тогда
. Если
– постоянная, то
.
Пример 2. . Найти
и
.
Решение. Если постоянная, то это степенная функция:
; при постоянной
функция
– показательная функция, тогда
.
Частные производные второго порядка:
;
;
;
.
Для большого класса функций смешанные производные равны, т.е.
.
Пример 3. Убедиться, что смешанные производные функции равны.
Решение. ;
,
;
.
Таким образом, .
Пример 4. Показать, что функция удовлетворяет уравнению
.
Решение. Находим ;
. Подставляем найденные выражения в левую часть уравнения
, что и требовалось.
Ряды.
4.1. Знакоположительные числовые ряды.
Пусть дана бесконечная числовая последовательность Выражение вида
– называется числовым
рядом, где – общий член ряда.
|
|
Сумму первых членов ряда называют
- ой частичной суммой и обозначают
.
Ряд называют сходящимся, если существует конечный предел последовательности частичных сумм, т.е. . Число
называют суммой ряда. Если
или не существует, ряд называют расходящимся.
Пример 1. Ряд, составленный из членов геометрической прогрессии сходится тогда и только тогда, когда .
Доказательство. Дан ряд ,
-ая частичная сумма
.
При :
– ряд сходится. Если
, то
или не существует, ряд расходится. Итак,
(
).
Необходимый признак сходимости. Если ряд сходится, то .
Таким образом, если , то ряд расходится.
Пример 2. Покажем, что ряд расходится.
Решение. – общий член ряда;
, значит ряд расходится.
Перечислим основные достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами.
Первый признак сравнения. Пусть даны два ряда
(1)
, (2)
причем каждый член ряда (1) не превосходит соответствующего члена ряда (2), т. е. для всех
. Тогда, если сходится ряд (2), сходится и ряд (1), если расходится (1), то расходится (2).
Второй признак сравнения. Если существует конечный и отличный от нуля предел , то оба ряда (1) и (2) одновременно сходятся или одновременно расходятся.
Признак Даламбера. Если для ряда существует предел
, то этот ряд сходится при
и расходится при
.
Пример 3. сходится, так как
;
,
.
Пример 4. расходится, так как
;
;
.
Признак Коши. Если для ряда существует
, то при
ряд сходится, при
расходится.
Пример 5. сходится, так как
;
;
.
Признак Дирихле. Ряд сходится тогда и только тогда, когда
.
Пример 6. Гармонический ряд расходится, так как
.
Пример 7. Ряд сходится, так как
.
Пример 8. Ряд расходится, так как его можно сравнивать по второму признаку с гармоническим рядом, который расходится.
|
|
~
(при
).
Пример 9. сходится, так как
~
, ряд
сходится
, значит по второму признаку сравнения сходится и данный ряд.
4.2. Знакочередующиеся ряды. Для знакочередующего ряда
справедлив признак сходимости Лейбница: знакочередующийся ряд сходится, если абсолютные величины его членов монотонно убывают, а общий член стремится к нулю, т. е.
1) ;
2) .
Пример 10. сходится, так как
1) ;
;
, …, т. е.
...;
2) .
Абсолютная и условная сходимость. Рассмотрим знакопеременный ряд
и ряд, составленный из абсолютных величин членов исходного ряда:
Если сходится ряд , то сходится исходный ряд и называется абсолютно сходящимся.
Сходящийся ряд называют условно сходящимся, если ряд
расходится.
Пример 11. сходится (по признаку Лейбница), а ряд
расходится
, значит, данный ряд сходится условно.
Пример 12. сходится абсолютно, так как ряд
сходится
.
4.2. Степенные ряды. Ряд вида
называется степенным. Числа ,
, …,
,… – коэффициенты ряда (действительные числа),
– центр ряда (также действительное число).
Теорема (об области сходимости степенного ряда). Для всякого степенного ряда существует интервал сходимости с центром в точке :
, внутри которого степенной ряд абсолютно сходится и вне которого расходится.
На концах интервала требуется дополнительное исследование.
Радиус сходимости можно находить по формуле:
.
Пример 13. Найти область сходимости степенного ряда
.
Коэффициент n–го члена равен ; коэффициент (n+1)–го члена
, следовательно
.
Таким образом, ряд абсолютно сходится для всех значений x из интервала . Для значений
и
ряд расходится. Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости. Подставляем в заданный ряд
. Получаем числовой ряд
– этот ряд гармонический, он, как известно, расходится. При
получаем ряд
Этот знакопеременный ряд сходится, так как удовлетворяет условиям признака Лейбница.
Итак, область сходимости степенного ряда определяется двойным неравенством .