Это система с пуассоновским входным потоком заявок, экспоненциальным законом распределения времени обслуживания и одним сервером.
На рис. 1. приведена простейшая схема такой системы. Она содержит буфер, который может хранить очередь бесконечной длины, состояние которой может быть отождествлено с числом заявок, содержащихся в очереди в каждый момент времени.
Рис. 1. СМО типа М/М/1.
Поскольку входной процесс ординарный, то в каждый момент времени к очереди может добавиться только одна заявка, поскольку сервер один, то в каждый момент времени может быть обслужена, то есть уйти из очереди только одна заявка. Таким образом, рассматриваемая СМО относится к процессу класса «гибели-размножения». Для анализа необходимо конкретизировать параметры системы. Распределение вероятностей входного потока и времени обслуживания позволяет полагать интенсивности вероятностей в модели постоянными.
Здесь t – среднее время обслуживания в сервере.
На рис 2 приведена диаграмма интенсивностей переходов для рассматриваемой системы.
|
|
Рис. 2 Диаграмма интенсивности переходов для СМО типа М/М/1.
Полученное ранее общее решение позволяет сразу записать вероятность того, что в стационарном состоянии в очереди будет находиться k заявок
Найдем начальное значение вероятности, учитывая сходимость соответствующего ряда
.
Окончательно получаем формулу для вероятности длины очереди
.