Задача № 2.1

В целях изучения затрат времени на изготовление детали рабочими завода проведена 10% случайная бесповторная выборка в результате которой получено данное распределение деталей по затратам времени, представлено в следующей таблице:

Затраты времени на одну деталь, мин.	Число деталей, шт.	Расчетные значения
Середина интервала (X)
до 10				136,9
до 12				57,8
12 – 14				4,5
14 – 16				79,35
16 и более				92,45
Итого		-

На основе этих данных вычислить:

1. С вероятностью 0.954 предельную ошибку выборочной средней и возможные границы, в которых ожидаются средние затраты времени на изготовление одной детали на заводе;

2. С вероятностью 0.954 предельную ошибку выборочной доли и границы удельного веса числа деталей с затратами времени на их изготовление от 10 до 14 мин.

Решение:

1. Определяем средние затраты времени на изготовление 1 детали для выборочной совокупности по формуле средней арифметической взвешенной:

Рассчитываем дисперсию для выборочной совокупности по формуле средневзвешенной для сгруппированных данных:

Так как выборка по условию задачи равна 10%, а n равно 100 шт., то N равно 1000 шт.Средняя ошибка выборки при бесповторном отборе рассчитывается по формуле:

Так вероятность равна 0,954, то коэффициент доверия t равен 2. Предельная ошибка выборки определяется по формуле:

Доверительные интервалы (пределы) средней рассчитываем, исходя из двойного неравенства:

;

;

Таким образом, с вероятностью 0,954 можно утверждать, что средние затраты времени на изготовление одной детали на заводе лежат в границах от 12, 34 мин. до 13, 06 мин.

2. Определяем по выборочной совокупности долю деталей с затратами времени на их изготовление от 10 до 14 минут по формуле:

Тогда дисперсия выборочной доли равна:

Средняя ошибка выборки определяется по аналогичной формуле, что и для выборочной средней и равна:

Предельная ошибка выборки для доли и доверительные интервалы определяется по формула:

.

Таким образом, с вероятностью 0,954 можно утверждать, что доля деталей, изготовленных с затратами времени от 10 до 14 минут составляет от 61,3% до 78,9% в общем числе деталей.