Нормальное распределение
Непрерывная случайная величина Х называется распределенной по нормальному закону (или закону Гаусса), если ее плотность распределения имеет вид
,
где – численные параметры нормального закона распределения, . График плотности распределения в этом случае называется нормальной кривой (или кривой Гаусса).
Нормальная кривая расположена выше оси абсцисс , симметрична относительно вертикальной прямой (), имеет своей горизонтальной асимптотой ось абсцисс, имеет две точки перегиба (; ), (; ) и достигает максимума при , равного .
Рисунок 11 - Кривая Гаусса
Параметры и нормального распределения имеют следующий вероятностный смысл:
· параметр равен математическому ожиданию нормально распределенной случайной величины Х, т.е. ;
· параметр равен среднему квадратическому отклонению нормально распределенной случайной величины Х, т.е. .
Отметим также, что для нормального закона распределения , .
Распределение Пирсона "хи-квадрат"
|
|
Рассмотрим независимых нормально распределенных случайных величин с , , и составим сумму квадратов этих величин:
= .
Определенная таким образом случайная величина называется распределенной по закону "хи-квадрат" (закону Пирсона) с степенями свободы.
Заметим, что распределение "хи-квадрат" имеет один параметр – число степеней свободы. При увеличении числа степеней свободы распределение медленно приближается к нормальному.
Распределение Стьюдента (t-распределение)
Рассмотрим две независимые случайные величины и V (); т.е. случайная величина Z имеет нормальное распределение с и , а независимая от нее случайная величина V распределена по закону с степенями свободы. Составим случайную величину
.
Определенная таким образом случайная величина T называется распределенной по закону Стьюдента с степенями свободы.
Отметим, что распределение Стьюдента имеет один параметр – число степеней свободы. При увеличении числа степеней свободы распределение Стьюдента быстро приближается к нормальному.
Распределение Фишера ( -распределение)
Рассмотрим две независимые случайные величины U и V, распределенные по закону со степенями свободы и соответственно. Составим случайную величину
.
Определенная таким образом случайная величина называется распределенной по закону Фишера со степенями свободы и .
Заметим, что распределение Фишера имеет два параметра и – числа степеней свободы.
Отметим также, что имеются специальные таблицы квантилей распределений N (0,1), (), (), .
Биноминальное распределение
Рассмотрим дискретную случайную величину Х, имеющую смысл числа появлений некоторого события А в серии из независимых опытов по схеме Бернулли. Возможные значения случайной величины Х, очевидно, таковы: 0, 1, 2, …, . Для нахождения вероятностей этих возможных значений достаточно воспользоваться формулой Бернулли:
|
|
( =0, 1, …, ),
где – вероятность появления события А в одном опыте; .
Данная формула и является аналитическим выражением биноминального закона распределения дискретной случайной величины.
Распределение Пуассона
Рассмотрим дискретную случайную величину Х, возможные значения которой составляют множество всех целых неотрицательных чисел: 0, 1, 2, …, , …, причем последовательность этих значений теоретически не ограничена (бесконечна). Вероятности этих возможных значений зададим следующей формулой:
( =0, 1, 2, …),
где – некоторая положительная величина, называемая параметром распределения.
Данная формула является аналитическим выражением закона распределения Пуассона.
Отметим, что закон Пуассона приближенно заменяет биноминальный закон распределения в случаях, когда велико, а мало; при этом параметр . По этой причине закон распределения Пуассона часто называют законом редких ( мало) массовых ( велико) явлений.