Чтобы определить интерпретацию для формулы логики предикатов следует задать:
n общую область определения D для всех предметных переменных, входящих в формулу;
n значения констант;
n истинностные значения предикатов, входящих в формулу;
n значения функций, входящих в формулу
При этом:
1) каждой константе ставится в соответствие некоторый элемент из D;
2) каждому n-местному функциональному символу ставится в соответствие отображение из Dn в D (заметим, что Dn=
3) каждому n-местному предикатному символу ставится в соответствие отображение Dn в множество {И,Л}.
Для каждой интерпретации формулы из области D формула может получать истинностное значение И или Л согласно следующим правилам:
1. если заданы значения формул G и H, то истинностные значения формул ùG,() получаются по табл. 2 логики высказываний.
2. G получает значение И, если G получает значение И для каждого x из D; в противном случае она получает значение Л.
3. получает значение И, если g получает значение И хотя бы для одного x из D;в противном случае она получает значение Л.
|
|
4. Формула, содержащая свободные переменные, не может получить истинностное соглашение. В логике предикатов действует следующее соглашение: формула либо не содержит свободных переменных, либо свободные переменные рассматриваются как константы.
Пример: Оценим формулы
а)
b)
c)
в следующей интерпретации I:
Л, И, И,
И, Л, И.
Для формулы а): если , то
И И = И;
если , то
Л Л = Л.
Так как в области D существует элемент, а именно , такой, что истинна, то а) истинна при интерпретации I.
Для формулы b):
если , то
Л И Л;
если x=2, то
И Л Л.
Т. к. в D не существует такого элемента, что истинна, что формула b),будет ложной при интерпретации I.
Для формулы c):
если , то Л. Следовательно, = Л для и для . Так как существует , а именно , такой, что ложно, то формула с) ложна при интерпретации I, т.е. эта формула опровергается интерпретацией I.
Определим ряд важнейших понятий для логики предикатов.
Непротиворечивая (выполнимая) формула - формула G выполнима (непротиворечива) тогда и только тогда, когда существует такая интерпретация I, что G имеет значение И в I. Если формула G есть И в интерпретации I, то I есть модель формулы G и I удовлетворяет G.
Противоречивая формула – когда не существует никакой интер-претации, которая удовлетворяет G.
Общезначимая формула – когда не существует никакой интер-претации I, которая не удовлетворяет G.
Логическое следствие – формула G есть логическое следствие формул тогда и только тогда, когда для каждой интерпретации I, если истинна в I, то G также истинна в I.
Замечание: Так как в логике предикатов количество областей определения предметных переменных ничем не ограничивается, т.е. их может быть бесконечное число, то имеется бесконечное число интерпретаций формулы. Следовательно, в отличие от логики высказываний, отсутствует возможность доказательства общезначимости или противоречивости формулы путем определения ее истинностных значений при всех возможных интерпретациях, даже в самых простых случаях. Поэтому доказательство теорем (достоверности рассуждений) в логике предикатов осуществляется только методом резолюций, однако имеющем свои особенности. Вернуться
|
|