Впервые публичная демонстрация была осуществлена французским физиком и астрономом Жаком Фуко в 1851 г. в Парижском Пантеоне: под куполом Пантеона он подвесил металлический шар массой 28 кг с закреплённым на нём остриём на стальной проволоке длиной 67 м. Крепление маятника позволяло ему свободно колебаться во всех направлениях, под точкой крепления было сделано круговое ограждение диаметром 6 м, по краю ограждения была насыпана песчаная дорожка таким образом, чтобы маятник в своём движении мог при её пересечении прочерчивать на песке отметки. Чтобы избежать бокового толчка при пуске маятника, его отвели в сторону и привязали верёвкой, после чего верёвку пережгли.
Период колебания маятника при такой длине подвеса составлял 16,4 с, при каждом колебании отклонение от предыдущего пересечения песчаной дорожки составляло ~3 мм, за час плоскость колебаний маятника повернулась более чем на 11° по часовой стрелке, т.е. примерно за 32 ч совершила полный оборот и вернулась в прежнее положение.
|
|
Рис. 5.2. Маятник Фуко. |
а) |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
z |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Z |
![]() |
б) |
Для качественного понимания причины поворота плоскости колебаний поместим маятник на Северном полюсе (рис. 5.2,а).
В инерциальной системе отсчета, в качестве которой можно взять систему, связанную с «неподвижными» звездами, уравнение движения имеет вид:
,
где – вектор положения маятника с началом в неподвижной точке системы отсчета (например, в центре Земли),
– натяжение нити, а
– гравитационное притяжение Земли.
Ясно, что если начальная скорость .лежит в плоскости
, то маятник не выйдет из этой постоянной в инерциальной системе плоскости колебаний, что с точки зрения земного наблюдателя воспринимается как вращение этой плоскости по часовой стрелке с угловой скоростью
. Если же маятник находится на широте
, то плоскость колебаний вращается с угловой скоростью
.
Рассматривая движение маятника как сложное, состоящее из переносного вместе с вращающейся Землей и относительного, запишем уравнение (5.10) в виде:
, (1)
где обозначено – сила тяжести на данной широте
;
натяжение нити;
сила инерции Кориолиса, которая направлена перпендикулярно скорости вправо, если смотреть вслед маятнику, чем и объясняется вращение плоскости колебаний по часовой стрелке.
Обычным способом записи уравнений динамики относительного движения является проецирование их на оси, связанные с подвижной системой отсчета (в данном случае с Землей).
При векторном описании относительного движения необходимо все векторы в уравнении представить в виде , где
тензор поворота подвижной системы отсчета, а
«перенесенный» вектор.
|
|
Вектор положения, с началом в точке подвеса, запишем в виде , где
тензор поворота Земли (рис. 5.2б). Тогда относительные скорость и ускорение
; сила тяжести
; натяжение
. Поскольку
, то и сила инерции Кориолиса по тождеству (1.14) также представима в виде:
.
Таким образом, умножив (1) слева скалярно на , получим:
(2)
Представим вектор угловой скорости Земли в виде , а вектор положения
, где
горизонтальная составляющая вектора положения и, удерживая линейные относительно
величины, получим:
,
,
где подчеркнутое слагаемое параллельно .
Из проекции уравнения (2) на ось Z получим , а «плоская» часть примет вид:
, (3)
где квадрат собственной частоты математического маятника.
Решение уравнения (3) будем искать в виде . Используя формулу Пуассона:
, получим:
,
, (учли, что
).
Подставляя в (3), получим
или
.
Решение этого уравнения , где
, при произвольных
, т.е. при произвольных начальных условиях, описывает движение по эллипсу. Решение уравнения (3)
описывает вращение этого эллипса по часовой стрелке с угловой скоростью
.
При начальных условиях, осуществленных Фуко (отклонение и отпускание без начальной скорости) находим:
,
и решение
можно трактовать как вращение плоскости колебаний маятника.