i | xi | yi | yi' = yi – xi | Δ yi = hi · yi ' |
1.5 | 1.5 | 0.375 | ||
0.25 | 1.875 | 1.625 | 0.406 | |
0.5 | 2.281 | 1.781 | 0.445 | |
0.75 | 2.726 | 1.976 | 0.494 | |
3.22 | 2.221 | 0.555 | ||
1.25 | 3.775 | 2.525 | 0.631 | |
1.5 | 4.407 |
По начальным данным заполним первую строку в столбцах 2 и 3.
Из уравнения вычисляем в столбце 4.
Рисунок 24 – Схема алгоритма метода Эйлера
К содержимому столбца 3 прибавляем содержимое столбца 5 этой же строки (вычисляем ), и результат записываем в столбец 3 следующей строки. Определяем и затем шаги повторяем до тех пор, пока не будет пройден весь отрезок.
Метод Рунге-Кутты. Рассмотрим метод Рунге – Кутта второго порядка (метод Эйлера – Коши).
В этом методе величины вычисляются по следующим формулам (рисунок 25):
,
.
Тогда
.
Обозначим
,
тогда
.
Геометрически это означает, что определяется направление интегральной кривой в исходной точке и во вспомогательной точке , а в качестве окончательного выберем среднее из этих направлений.
Рисунок 25 – Метод Эйлера-Коши
Пример 22. Решить методом Рунге – Кутта второго порядка дифференциальное уравнение с начальным условием y (0) = 1.3 на отрезке [0; 1].
Метод Рунге ‑ Кутта четвёртого порядка
В вычислительной практике наиболее часто используется метод Рунге-Кутта четвёртого порядка. Пусть функция y определяется дифференциальным уравнением y ' = f (x, y) при начальном условии y (x 0) = y 0. При численном интегрировании такого уравнения определяют четыре числа: k 1, k 2, k 3, k 4:
В этом методе величины вычисляются по следующим формулам:
Пример 23. Пусть дано дифференциальное уравнение с начальным условием y (0) = 1.5.
Найти с точностью ε = 0.01 решение этого уравнения методом Рунге – Кутта четвёртого порядка при x = 1.5.