1. Явное задание кривой. В этом случае кривая задается в виде , , и длина ее дуги равна L= .
2. Кривая в полярных координатах. Уравнение кривой имеет в этом случае вид и длина ее дуги равна L= .
3. Параметрическое задании кривой. Пусть функции x (t) и y (t) имеют на отрезке непрерывныепроизводные и . Тогда длина дуги кривой
L= .
Пример. Найдём длину дуги кривой (циклоиды), заданной на плоскости параметрическими уравнениями
лежащей между точками O(0;0) (соответствует ) и A(2 a;0) (соответствует ).
Для функций f1(t)=a(t-sint) и f2(t)=a(1-cost) вычислим производные:
Тогда искомая длина дуги равна
Пример. Пусть линия на плоскости с полярными координатами (r; ) задана уравнением r=a (a>0). Поскольку функция f()=a периодична с периодом , достаточно рассматривать только значения аргумента , при которых выражение неотрицательно. Кривая имеет вид, изображённый на следующем рисунке.
Найдём длину этой линии.
Имеем
Поэтому искомая длина равна